Question

如圖，傾角為θ的斜面固定．有n個(gè)質(zhì)量都為m的相同的小木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放置在斜面上．相鄰兩小木塊間距離都為l，最下端的木塊距底端也是l，小木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ．在開始時(shí)刻，第一個(gè)小木塊從斜面頂端以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止，由于第一個(gè)木塊的下滑將依次引起一系列的碰撞．設(shè)每次碰撞的時(shí)間極短，在每次碰撞后，發(fā)生碰撞的木塊都粘在一起運(yùn)動(dòng)，直到最后第n個(gè)木塊到達(dá)底端時(shí)，速度剛好為零．已知重力加速度為g．求：
（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小v；
（2）從第一個(gè)小木塊開始運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞后系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E；
（3）發(fā)生一系列碰撞后，直到最后第n個(gè)木塊到達(dá)底端，在整個(gè)過(guò)程中，由于碰撞所損失的總機(jī)械能△E_總．

Answer 1

（1）設(shè)小木塊1碰前的速度為v₁，從開始運(yùn)動(dòng)到碰前，
根據(jù)動(dòng)能定理：mglsinθ-μmglcosθ=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

    對(duì)小木塊1和2，由動(dòng)量守恒  mv₁=2mv      
    則有    v=

1

2

v 20 +2gl(sinθ-μcosθ)

  
（2）碰撞前損失的機(jī)械能為△E₁=μmglcosθ    
    因碰撞損失的機(jī)械能為   △E2=

1

2

m

v

21

-

1

2

?2mv2    
   則有△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

20

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)
   （3）對(duì)n個(gè)木塊碰撞的全過(guò)程
    重力做的總功     W_G=mglsinθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

mglsinθ
    克服摩擦做的總功
      W_f=μmglcosθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

μmglcosθ      
    根據(jù)功與能的關(guān)系   WG+

1

2

m

v

20

=Wf+△E總   
     由以上各式求出   △E總=

1

2

m

v

20

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）    
答：（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小 v=

1

2

v 20 +2gl(sinθ-μcosθ)

；
（2）從第一個(gè)小木塊開始運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞后系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

20

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)；
（3）發(fā)生一系列碰撞后，直到最后第n個(gè)木塊到達(dá)底端，在整個(gè)過(guò)程中，由于碰撞所損失的總機(jī)械能  △E總=

1

2

m

v

20

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）．