Question

4．如圖所示，是一種電子擴束裝置的原理示意圖．直角坐標系原點O處有一電子發(fā)射裝置，可以不斷朝xOy平面內x≥0區(qū)域任意方向發(fā)射電子，電子的速率均為v₀，已知電子的電荷量為e、質量為m．在0≤x≤d的區(qū)域內分布著沿x軸負方向的勻強電場，場強大小E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2ed}$，在x＞d區(qū)域內分布著足夠大且垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小B=$\frac{4m{v}_{0}}{ed}$，ab為一塊很大的平面感光板，在磁場內平行于y軸放置，電子打到板上后會在板上形成一條亮線．不計電子的重力和電子之間的相互作用．求：
（1）電子進入磁場時速度v的大�。�
（2）當感光板沿x軸方向移到某一位置時恰好沒有電子打到板上，求板ab到y軸的距離x₁；
（3）保持（2）中感光板位置不動，改變磁感應強度的大小，使所有電子都能打到感光板上，試計算此時最小的磁感應強度B′的大�。�

Answer 1

分析 （1）電子在電場中運動時，電場力做功都相同，為eEd，根據動能定理求出電子離開電場時的速度大小，即得到電子進入磁場時速度的大小；
（2）電子進入磁場后由洛倫茲力充當向心力做勻速圓周運動．對于沿y軸負方向射出的電子進入磁場時，不能打到ab板上，則所有電子均不能打到ab板上．當此電子軌跡與ab板相切時，畫出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識求出感光板到y軸的距離x₁．
（3）沿y軸正方向射出的電子若能打到ab板上，則所有電子均能打到板上．此電子軌跡恰好與ab板相切，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應強度的大�。�

解答 解：（1）電場力對電子做功，由動能定理得：
eEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v=2v₁；
（2）由題意結合左手定則可以判定：若沿y軸負方向射出的電子進入磁場后軌跡與ab板相切不能打到ab板上時，
則所有電子均不能打到ab板上，作出其運動軌跡如圖所示．
設該電子進入磁場時與豎直方向的夾角為θ，有：vcosθ=v₁，
電子在洛倫茲力作用下做圓周運動，由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由圖中幾何關系可知：x₁=r（1+cosθ）+d，解得：x₁=$\frac{7}{4}$d；
（3）由題意結合左手定則可以判定：若沿y軸正方向射出的電子進入磁場后軌跡恰好與ab板相切能打到ab板上，
則所有電子均能打到板上，作出其運動軌跡如圖所示．
由幾何關系得：d+r′（1-cosθ）=r₁，
由牛頓第二定律得：evB′=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，解得：B′=$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$；
答：（1）電子進入磁場時速度的大小為2v₀；
（2）當感光板ab沿x軸方向移到某一位置時，恰好沒有電子打到板上，感光板到y軸的距離x₁為$\frac{7}{4}$d；
（3）保持（2）中感光板位置不動，若使所有電子恰好都能打到感光板上，磁感應強度的大小為：$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$．

點評 本題考查了粒子在電磁場中的運動問題，本題是電場中偏轉和磁場中圓周運動的綜合，關鍵是分析臨界情況，當電子剛好不能打到ab板上時，其軌跡恰好與ab板相切，這是經常用到的臨界條件．