Question

10．如圖所示，高度相同質量均為m=0.1kg的滑板A及滑板B置于水平面上，A、B間的距離S=$\frac{4}{3}$m．質量為M=0.3kg，大小可忽略的物塊C放置于B的左端．C與A之間的動摩擦因數為μ₁=0.1，A與水平面之間的動摩擦因數為μ₂=0.2，B的上、下表面均光滑，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，開始時三個物體均處于靜止狀態(tài)．現給滑板A施加一個F=0.8N的水平向右的恒力作用，假定A、B碰撞時間極短，且碰后共速但不粘連．取g=10m/s²．求：
（1）A與B相碰前瞬間的速度為多大；
（2）要使C剛好不脫離滑板，滑板的長度至少應為多少；
（3）在滿足（2）的條件下，以A與B碰撞后瞬間作為計時起點，求此后B、A之間的距離S_BA的函數式．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求得A與B碰撞前的速度；
（2）根據滑板A的受力確定AC組成的系統(tǒng)動量守恒，據此求得共速時的速度大小，再根據運動學規(guī)律求得AC在此過程中的位移差即為木板的最小長度；
（3）根據AC共速前A做勻減速運動和AC共速后A做勻速運動分別求出AB間距離的表達式．

解答 解：（1）設A與B碰撞前瞬間的速度為v₀，根據動能定理有：
$（F-{μ}_{2}mg）s=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2（F-{μ}_{2}mg）}{m}s}$=$\sqrt{\frac{2×（0.8-0.2×0.1×10）}{0.1}×\frac{4}{3}}m/s$=4m/s；
（2）設A與B相碰后速度為v₁，對于A、B組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律：
mv₀=（m+m）v₁
解得：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}=2m/s$
碰后C在滑板A上，C在滑動摩擦力作用下向右做勻加速運動，A做勻減速運動，B做勻速運動，A、B分離
A與地面的摩擦力：f₂=μ₂（m+M）g=0.8N
A受到的水平推力F=0.8N
故碰后A、C組成的系統(tǒng)動量守恒
要使C剛好滑到A的左端時二者達到共同速度設為v₂
由動量守恒定律：mv₁=（m+M）v₂
解得：${v}_{2}=\frac{m{v}_{1}}{m+M}=\frac{0.1}{0.1+0.3}×2m/s=0.5m/s$
設A的和度至少為L，則由能量守恒定律有：
${μ}_{1}MgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}$
代入數據解得：L=0.5m；
（3）①對于A與B發(fā)生碰撞后瞬間到C與A達到共同速度瞬間這一過程：
A做勻減速運動，對A用牛頓第二定律：
F-μ₁Mg-μ₂（m+M）g=ma
代入數據解得：a=3m/s²
所以C、A達到共同速度前，B、A距離的函數式為：
${s}_{BA}={s}_{B}-{s}_{A}={v}_{1}t-（{v}_{1}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}）=\frac{1}{2}a{t}^{2}$=1.5t²
②在A、C達到共速前的運動過程，A做勻減速運動的時間為：
$t=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{a}=\frac{2-0.5}{3}s=0.5s$
0.5sA的位移：${s}_{A0}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t=0.625m$
0.5sB的位移：s_B0=v₁t=1m
以后A、B均做勻速運動，所以C、A達到共同速度后，B、A距離的函數的表達式為：
s_BA=s_B0-s_A0+（v₁-v₂）（t-0.5）=0.375+1.5×（t-0.5）=1.5t-0.375
答：（1）A與B相碰前瞬間的速度為4m/s；
（2）要使C剛好不脫離滑板，滑板的長度至少應為0.5m
（3）在滿足（2）的條件下，以A與B碰撞后瞬間作為計時起點，求此后B、A之間的距離S_BA的函數式為：
${s}_{BA}=1.5{t}^{2}$（t≤0.5s）
s_BA=1.5t-0.375（t＞0.5s）

點評 解決本題的關鍵是抓住AB碰撞后A的受力滿足AC系統(tǒng)動量守恒，根據動量守恒和運動學規(guī)律求解滑板的長度和AB間距離的表達式，掌握規(guī)律是正確解題的基礎．