Question

18．游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來(lái)，如圖甲所示，圖乙是依照過(guò)山車原理制作的模型，半徑為R=0.4m的圓軌道豎直放置．下端與弧形軌道相接，使質(zhì)量為m=0.5kg的小球從弧形軌道上端無(wú)初速度滾下，小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)．實(shí)驗(yàn)表明，只要h大于一定值，小球就可以順利通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)．（不考慮空氣及摩擦阻力g=10m/s²）
（1）若小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)，則小球在最高點(diǎn)的速度為多大？此時(shí)對(duì)應(yīng)的h多高？
（2）若h=1.6m，則小球在通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時(shí)的最小的速度，再由機(jī)械能守恒可以求得離地面的高度h．
（2）小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律求得最高點(diǎn)的速度，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解小球在通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．

解答 解：（1）小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)，即小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)恰好不受軌道的壓力，重力提供向心力．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
小球在最高點(diǎn)處的速度至少為：v=$\sqrt{gR}$=2m/s，
小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功．由機(jī)械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R，
代入數(shù)據(jù)解得：h=1m．
（2）h=1.6m時(shí)，小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有：
mgh=$\frac{1}{2}$mv′²+mg•2R，
小球在最高點(diǎn)，在重力和軌道的壓力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
N+mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：N=15N，
根據(jù)牛頓第三定律得：小球在通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是15N；
答：（1）若小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)，則小球在最高點(diǎn)的速度為2m/s，此時(shí)對(duì)應(yīng)的h是1m．
（2）若h=1.6m，則小球在通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是15N，方向：豎直向上．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于圓周運(yùn)動(dòng)中繩的模型，在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是重力恰好做為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)中的兩種模型一定要牢牢的掌握住．