Question

【題目】如圖甲所示，半圓柱形玻璃磚長為L，其半圓形截面的半徑為R，其折射率 。

（1）現(xiàn)有平行光束垂直射向上底矩形平面，如圖乙，試求在下側(cè)圓弧面上有光線射出的范圍（用截面上對應(yīng)的圓心角大小表示）；

（2）如圖丙，若平行光束以與上底平面成450角射向玻璃磚，要讓其下側(cè)圓弧面上沒有光線射出，需在上底平面上放置一塊遮光板，試求遮光板的最小面積。(正弦定理：a /sinA = b /sinB =c /sinC )

Answer 1

【答案】（1）900（2）

【解析】（1）光線垂直射向平面時射入玻璃磚內(nèi)，其傳播方向不變．設(shè)某條光線射到圓弧面上的A點(diǎn)時剛好發(fā)生全反射，其臨界角為C，由折射定律有


得臨界角 C=45°
由幾何分析可知，A點(diǎn)右側(cè)光線的入射角小于臨界角．
由圓弧的對稱性可知，圓心O點(diǎn)右側(cè)與A點(diǎn)對稱的B點(diǎn)也剛好發(fā)生全反射．
故在下側(cè)圓弧面上有光線射出的圓弧對應(yīng)的圓心角為∠AOB=2C=90°
（2）當(dāng)平行光束與界面成45°入射時，其入射角 i=45°
由折射定律 ，得其對應(yīng)的折射角的正弦值
得折射角 r=30°
設(shè)某條光線入射到點(diǎn)M經(jīng)折射后到圓弧面上的N點(diǎn)，剛好發(fā)生全反射，
有∠ONM=C=45°
在△MON中由正弦定理有

得M到圓心O的距離

同理，設(shè)O點(diǎn)右側(cè)某條光線射到H點(diǎn)時，其折射光線射到圓弧面上的G點(diǎn)也剛好發(fā)生全反射，在△HOG中，有
得，O到H的距離

在圓弧面上N到G點(diǎn)間的入射光線均可從圓弧面上射出，要下側(cè)圓弧面上沒有光線射出，只需遮擋住M到H間的位置，故遮光板的最小面積為
S=MHL=（MO+OH）L=