Question

20．如圖所示，質(zhì)量為m、帶電量為q的小球在光滑導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，半圓形滑環(huán)的半徑為R，小球在A點(diǎn)時(shí)的初速為v₀，方向和斜軌平行．整個(gè)裝置放在方向豎直向下，強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，斜軌的高為H，試問：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球在B點(diǎn)對(duì)圓環(huán)的壓力為多少？
（2）在H與R滿足什么條件下，小球可以剛好通過半圓環(huán)最高點(diǎn)，這時(shí)小球的速度多大？

Answer 1

分析 （1）A到B運(yùn)用動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度，三個(gè)力提供向心力，進(jìn)而求出對(duì)軌道的壓力；
（2）小球可以勻速沿半圓環(huán)到達(dá)最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可知，要求合力不做功，只能是重力和電場(chǎng)力平衡．

解答 解：（1）A到B過程電場(chǎng)力與重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理：
qEH+mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
在B點(diǎn)受重力、電場(chǎng)力和軌道的支持力，合力提供向心力，得：
F-mg-qE=m $\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上公式，求得：
F=$\frac{2mgH+2qEH+m{v}_{0}^{2}}{mR}$+mg+qE
根據(jù)牛頓第三定律，軌道對(duì)小球的壓力等于小球?qū)�軌道的壓力，�?$\frac{2mgH+2qEH+m{v}_{0}^{2}}{mR}$+mg+qE；
（2）小球剛好到達(dá)半圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式得：
$mg+qE=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{（mg+qE）R}{m}}$
根據(jù)動(dòng)能定理：$（mg+qE）（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：$H=\frac{5}{2}R-\frac{m{v}_{0}^{2}}{2（mg+qE）}$
答：（1）小球在B點(diǎn)對(duì)圓環(huán)的壓力為 $\frac{2mgH+2qEH+m{v}_{0}^{2}}{R}$+mg+qE；
（2）在H與R滿足條件$H=\frac{5}{2}R-\frac{m{v}_{0}^{2}}{2（mg+qE）}$，小球可以剛好通過半圓環(huán)最高點(diǎn)，這時(shí)小球的速度$\sqrt{\frac{（mg+qE）R}{m}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是合力地選擇研究的過程然后運(yùn)用動(dòng)能定理求解．以及知道在圓周運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．