Question

8．一個(gè)小圓環(huán)套在置于豎直面內(nèi)半徑為R的大圓環(huán)上，并能沿大圓環(huán)無摩擦地滑動(dòng)．當(dāng)大圓環(huán)繞一個(gè)穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小圓環(huán)便能相對靜止在大圓環(huán)上的某一點(diǎn)，若該點(diǎn)與大圓環(huán)最低點(diǎn)的高度差為h，如圖所示．試求：
（1）小圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r．
（2）大圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出小圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）根據(jù)合力通過向心力，結(jié)合合力的大小以及轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的大小求出轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度

解答 解：（1）由幾何關(guān)系，易知小環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=$\sqrt{{R^2}-{{（{R-h}）}^2}}=\sqrt{2Rh-{h^2}}$．
（2）對小環(huán)受力分析，如圖所示根據(jù)牛頓第二定律，

有mgtanθ=mω²r，
而r=Rsinθ，
解得：$ω=\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g}{R-h}}$．
答：（1）小圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\sqrt{2Rh-{h}^{2}}$；
（2）大圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為$\sqrt{\frac{g}{R-h}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，抓住向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．