Question

【題目】如圖，玻璃球冠的折射率為，其底面鍍銀，底面的半徑是球半徑的倍；在過(guò)球心O且垂直于底面的平面（紙面）內(nèi)，有一與底面垂直的光線(xiàn)射到玻璃球冠上的M點(diǎn)，該光線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)恰好過(guò)底面邊緣上的A點(diǎn)．求該光線(xiàn)從球面射出的方向相對(duì)于其初始入射方向的偏角．

Answer 1

【答案】150°

【解析】

設(shè)球半徑為R，球冠地面中心為O′，連接OO′，則OO′⊥AB

令∠OAO′=α

則：…①

即∠OAO′=α=30°…②

已知MA⊥AB，所以∠OAM=60°…③

設(shè)圖中N點(diǎn)為光線(xiàn)在球冠內(nèi)地面上的反射點(diǎn)，光路圖如圖所示．

設(shè)光線(xiàn)在M點(diǎn)的入射角為i，折射角為r，在N點(diǎn)的入射角為i′，反射角為i″，玻璃的折射率為n．

由于△OAM為等邊三角形，所以入射角i=60°…④

由折射定律得：sini=nsinr…⑤

代入數(shù)據(jù)得：r=30°…⑥

作N點(diǎn)的法線(xiàn)NE，由于NE∥MA，所以i′=30°…⑦

由反射定律得：i″=30°…⑧

連接ON，由幾何關(guān)系可知△MAN≌△MON，則∠MNO=60°…⑨

由⑦⑨式可得∠ENO=30°

所以∠ENO為反射角，ON為反射光線(xiàn)．由于這一反射光線(xiàn)垂直球面，所以經(jīng)球面再次折射后不改變方向．所以，該光線(xiàn)從球面射出的方向相對(duì)于其初始入射方向的偏角為β=180°-∠ENO=150°