Question

如圖甲所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距為L=0.40m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30？角，上端和下端通過導(dǎo)線分別連接阻值R₁=R₂=1.2Ω的電阻，質(zhì)量為m=0.20kg、阻值為r=0.20Ω的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直且保持良好接觸，整個(gè)裝置處在垂直導(dǎo)軌平面向上的磁場中，取重力加速度g=10m/s²．若所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B，通過小電動機(jī)對金屬棒施加力，使金屬棒沿導(dǎo)軌向上做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)過0.5s電動機(jī)的輸出功率達(dá)到10W，此后保持電動機(jī)的輸出功率不變，金屬棒運(yùn)動的v-t圖如圖乙所示，試求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）在0-0.5s時(shí)間內(nèi)金屬棒的加速度a的大��；
（3）在0-0.5s時(shí)間內(nèi)電動機(jī)牽引力F與時(shí)間t的關(guān)系；
（4）如果在0-0.5s時(shí)間內(nèi)電阻R₁產(chǎn)生的熱量為0.135J，則這段時(shí)間內(nèi)電動機(jī)做的功．

Answer 1

（1）由圖象可知，當(dāng)金屬棒的最大速度為v_m=5m/s，因?yàn)榇藭r(shí)電動機(jī)的功率恒為P=10W，根據(jù)P=Fv可得此時(shí)電動機(jī)對金屬棒的拉力F=

P

vm

  ①
對金屬棒進(jìn)行受力分析可得：



由圖可知：F_合x=F-F_安-mgsin30°=0
故此時(shí)F_安=F-mgsinθ        ②
又因?yàn)榛芈分挟a(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv_{m ③}
根據(jù)歐姆定律可得，此時(shí)回路中電流I=

BLvm

r+ R 2

           ④
由①②③④可解得B=1T
（2）由題意可知，當(dāng)t=0.5s時(shí)，金屬棒獲得的速度v=at
此時(shí)電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I=

BLv

r+ 1 2 R

，金屬棒受到的安培力=F安=

B2L2v

r+ 1 2 R

此時(shí)電動機(jī)的拉力F=

P

v

則對金屬棒進(jìn)行受力分析有：F-F_安-mgsinθ=ma
代入有關(guān)數(shù)據(jù)有：

P

at

-

B2L2at

r+ 1 2 R

-mgsinθ=ma
又因?yàn)閠=0.5s，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30°
所以可計(jì)算得a=

20

3

m/s2
（3）在0-0.5s時(shí)間里對金屬棒進(jìn)行受力分析有：
  F-F_安-mgsinθ=ma得
F=ma+mgsin30°+F_安
代入a=

20

3

m/s2，F安=

B2L2v

r+ 1 2 R

，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30°
可計(jì)算得F=

4t

3

+

7

3

．
（4）令通過導(dǎo)體棒的電流為I，則通過電阻R₁和R₂的電流分別為

1

2

I
電流做功Q=I²Rt得：
對于R₁產(chǎn)生的熱量：Q1=(

I

2

)2Rt
對于R₂產(chǎn)生的熱量：Q2=(

I

2

)2Rt
對于導(dǎo)體棒r產(chǎn)生的熱量：Q3=I2rt
因?yàn)镮和t相等，R=1.2Ω，r=0.2Ω，Q₁=0.135J
所以可以計(jì)算出：Q₂=Q₁=0.135J，Q₃=0.09J
即整個(gè)電路產(chǎn)生的熱量Q=Q₁+Q₂+Q₃=0.36J
對整個(gè)0.5s過程中由于導(dǎo)體棒的加速度為

20

3

m/s2在0.5s的時(shí)間里，導(dǎo)體棒沿軌道上升的距離
x=

1

2

at2=

1

2

×

20

3

×(

1

2

)2m=

5

6

m
0.5s末導(dǎo)體棒的速度v=at=

20

3

×

1

2

m/s=

10

3

m/s
在這0.5s的時(shí)間里，滿足能量守恒，故有：
WF-Q-mgxsinθ=

1

2

mv2
∴力F做功為：WF=Q+mgxsinθ+

1

2

mv2
代入Q=0.36J，m=0.2kg，x=

5

6

m，v=

10

3

m/s可得：
W_F=2.34J
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T；
（2）在0-0.5s時(shí)間內(nèi)金屬棒的加速度a=

20

3

m/s2；
（3）在0-0.5s時(shí)間內(nèi)電動機(jī)牽引力F與時(shí)間t的關(guān)系：F=

4t

3

+

7

3

；
（4）如果在0-0.5s時(shí)間內(nèi)電阻R₁產(chǎn)生的熱量為0.135J，則這段時(shí)間內(nèi)電動機(jī)做的功W_F=2.34J．