Question

2．海王星是太陽系行星中離地球最遠(yuǎn)的行星，若已知海王星半徑是地球半徑的4倍，質(zhì)量是地球質(zhì)量的16倍，到太陽的距離是日地間距離的25倍．地球半徑為R₁，其表面重力加速度是g，引力常量為G．求：
（1）海王星的第一宇宙速度；
（2）海王星的密度．

Answer 1

分析 （1）分別由萬有引力提供向心力求地球和海王星的第一宇宙速度，再由物體的重力等于萬有引力，聯(lián)立解得海王星的第一宇宙速度；
（2）由在地球表面上物體的重力等于萬有引力列式，根據(jù)海王星半徑是地球半徑的4倍，質(zhì)量是地球質(zhì)量的16倍，由密度公式可求．

解答 解：（1）設(shè)地球的第一宇宙速度為v₁，設(shè)地球的質(zhì)量為M，則由牛頓第二定律可得：G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
設(shè)海王星的第一宇宙速度為v₂，設(shè)海王星的質(zhì)量為M′，G$\frac{{M}^{′}m}{{R}_{2}^{2}}$=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
在地球表面上，物體的重力等于萬有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=mg
又因為海王星半徑是地球半徑的4倍，質(zhì)量是地球質(zhì)量的16倍，
聯(lián)立解得：v₂=2$\sqrt{g{R}_{1}}$
（2）在地球表面上，物體的重力等于萬有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=mg
解得地球質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}_{1}^{2}}{G}$
又因為海王星半徑是地球半徑的4倍，質(zhì)量是地球質(zhì)量的16倍，
所以：ρ=$\frac{{M}^{′}}{V}$=$\frac{16×\frac{g{R}_{1}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π（4{R}_{1}）^{3}}$=$\frac{3g}{16Gπ{R}_{1}}$
答：（1）海王星的第一宇宙速度為2$\sqrt{g{R}_{1}}$；
（2）海王星的密度為$\frac{3g}{16Gπ{R}_{1}}$．

點評 利用萬有引力定律解答天體運動的問題注意：
兩條思路：①在星球表面上，物體的重力等于萬有引力；②萬有引力提供向心力；
一個黃金代換：GM=gR²；
本題中海王星到太陽的距離是日地間距離的25倍，這一條件是多余的．