Question

7．如圖所示是游樂園內某種過山車的示意圖．半徑為R=5.0m的光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37°的斜軌道面上的A點，圓軌道的最高點D與車（視為質點）的初始位置P點平齊，B為圓軌道的最低點，C點與圓心O等高，圓軌道與斜軌道PA之間平滑連接．小車從P點由靜止開始下滑，恰好到達C點．已知g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，車的質量m=100kg．求：
（1）小車經過B點時的速度大小v_B；
（2）小車與斜軌道的動摩擦因數為μ（保留兩位小數）；
（3）小車從P點滑下，為使小車恰好能通過圓形軌道的最高點D，則它在P點沿斜面向下的初速度v₀．（保留根號）

Answer 1

分析 （1）小車從B運動到C的過程，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律可求得B點的速度；
（2）小車從P到C的過程，運用動能定理可求得動摩擦因數為μ；
（3）由最高點D的臨界條件可求得最高點D的速度；再對小車從P到D點由動能定理列式，聯(lián)立可求得初速度．

解答 解：（1）設小車經過B點時的速度為v_B，從B到C的過程機械能守恒，有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$=10m/s
（2）設P、A兩點間距離為L，由幾何關系可得：
Lsinθ=R（1+cosθ）
可得：L=15m
小車從P到C的過程，運用動能定理得：
mgR-μmgcosθ•L=0
解得：μ=$\frac{5}{12}$≈0.42
（3）設小車恰好通過圓形軌道時在D點的臨界速度為v_D，則：
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
小車從P運動到D，根據動能定理：
-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立解得：v₀=5$\sqrt{6}$m/s
答：（1）小車經過B點時的速度大小v_B是10m/s
（2）小車與斜軌道的動摩擦因數為μ是0.42；
（3）小車從P點滑下，為使小車恰好能通過圓形軌道的最高點D，則它在P點沿斜面向下的初速度v₀是5$\sqrt{6}$m/s．

點評 本題是動能定理、機械能守恒的綜合應用，要注意正確分析題意，從而可以正確建立物理模型，再選擇合適的物理規(guī)律求解．