如圖4-7所示，兩根輕繩同系一個質(zhì)量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩AC長L=2m，當(dāng)兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45°，求當(dāng)小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動角速度為ω=4rad/s時，上下兩輕繩拉力各為多少？

   ①

      ②

代入數(shù)據(jù)得：，

要使BC繩有拉力，應(yīng)有ω>ω1，當(dāng)AC繩恰被拉直，但其拉力T1恰為零，設(shè)此時角速度為ω2，BC繩拉力為T2，則有  ③

  T2sin45°=mLACsin30°④

代入數(shù)據(jù)得：ω2=3.16rad/s。要使AC繩有拉力，必須ω<ω2，依題意ω=4rad/s>ω2，故AC繩已無拉力，AC繩是松馳狀態(tài)，BC繩與桿的夾角θ>45°，對小球有：

T2cosθ=m ω2LBCsin θ ⑤

而LACsin30°=LBCsin45°   LBC=m     ⑥

由⑤、⑥可解得   ；

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中物理 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，兩根不計電阻的金屬導(dǎo)線MN與PQ 放在水平面內(nèi)，MN是直導(dǎo)線，PQ的PQ1段是直導(dǎo)線，Q1Q2段是弧形導(dǎo)線，Q2Q3段是直導(dǎo)線，MN、PQ1、Q2Q3相互平行．M、P間接入一個阻值R=0.25Ω的電阻．質(zhì)量m=1.0kg、不計電阻的金屬棒AB能在MN、PQ上無摩擦地滑動，金屬棒始終垂直于MN，整個裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向豎直向下．金屬棒處于位置（I）時，給金屬棒一向右的初速度v1=4 m/s，同時給一方向水平向右F1=3N的外力，使金屬棒向右做勻減速直線運(yùn)動；當(dāng)金屬棒運(yùn)動到位置（Ⅱ）時，外力方向不變，改變大小，使金屬棒向右做勻速直線運(yùn)動2s到達(dá)位置（Ⅲ）．已知金屬棒在位置（I）時，與MN、Q1Q2相接觸于a、b兩點(diǎn)，a、b的間距L1=1 m；金屬棒在位置（Ⅱ）時，棒與MN、Q1Q2相接觸于c、d兩點(diǎn)；位置（I）到位置（Ⅱ）的距離為7.5m．求：
（1）金屬棒向右勻減速運(yùn)動時的加速度大��；
（2）c、d兩點(diǎn)間的距離L2；
（3）金屬棒從位置（I）運(yùn)動到位置（Ⅲ）的過程中，電阻R上放出的熱量Q．

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科目：高中物理 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，兩根不計電阻的金屬導(dǎo)線MN與PQ 放在水平面內(nèi)，MN是直導(dǎo)線，PQ的PQ1段是直導(dǎo)線，Q1Q2段是弧形導(dǎo)線，Q2Q3段是直導(dǎo)線，MN、PQ1、Q2Q3相互平行，M、P間接入一個阻值R=0.25Ω的電阻．一根質(zhì)量為1.0kg不計電阻的金屬棒AB能在MN、PQ上無摩擦地滑動，金屬棒始終垂直于MN，整個裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向豎直向下．金屬棒處于位置（I）時，給金屬棒一個向右的速度v1=4 m/s，同時方向水平向右的外力F1=3N作用在金屬棒上使金屬棒向右做勻減速直線運(yùn)動；當(dāng)金屬棒運(yùn)動到位置（Ⅱ）時，外力方向不變，大小變?yōu)镕2，金屬棒向右做勻速直線運(yùn)動，經(jīng)過時間t=2s到達(dá)位置（Ⅲ）．金屬棒在位置（I）時，與MN、Q1Q2相接觸于a、b兩點(diǎn)，a、b的間距L1=1 m，金屬棒在位置（Ⅱ）時，棒與MN、Q1Q2相接觸于c、d兩點(diǎn)．已知s1=7.5m．求：
（1）金屬棒向右勻減速運(yùn)動時的加速度大小？
（2）c、d兩點(diǎn)間的距離L2=？
（3）外力F2的大��？
（4）金屬棒從位置（I）運(yùn)動到位置（Ⅲ）的過程中，電阻R上放出的熱量Q=？

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科目：高中物理 來源： 題型：

如圖4-7-16所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的.一根細(xì)線跨在碗口上，線的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的小球，當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時，質(zhì)量為m1的小球與O點(diǎn)的連線與水平線夾角為α=60°.兩個球的質(zhì)量比為（　　）?

 圖4-7-16

?    A.　 ?    B.    ?    C.    ?    D.

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科目：高中物理 來源： 題型：閱讀理解

第十部分 磁場

第一講 基本知識介紹

《磁場》部分在奧賽考剛中的考點(diǎn)很少，和高考要求的區(qū)別不是很大，只是在兩處有深化：a、電流的磁場引進(jìn)定量計算；b、對帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動進(jìn)行了更深入的分析。

一、磁場與安培力

1、磁場

a、永磁體、電流磁場→磁現(xiàn)象的電本質(zhì)

b、磁感強(qiáng)度、磁通量

c、穩(wěn)恒電流的磁場

*畢奧-薩伐爾定律（Biot-Savart law）：對于電流強(qiáng)度為I 、長度為dI的導(dǎo)體元段，在距離為r的點(diǎn)激發(fā)的“元磁感應(yīng)強(qiáng)度”為dB 。矢量式d= k，（d表示導(dǎo)體元段的方向沿電流的方向、為導(dǎo)體元段到考查點(diǎn)的方向矢量）；或用大小關(guān)系式dB = k結(jié)合安培定則尋求方向亦可。其中 k = 1.0×10?7N/A2 。應(yīng)用畢薩定律再結(jié)合矢量疊加原理，可以求解任何形狀導(dǎo)線在任何位置激發(fā)的磁感強(qiáng)度。

畢薩定律應(yīng)用在“無限長”直導(dǎo)線的結(jié)論：B = 2k ；

*畢薩定律應(yīng)用在環(huán)形電流垂直中心軸線上的結(jié)論：B = 2πkI ；

*畢薩定律應(yīng)用在“無限長”螺線管內(nèi)部的結(jié)論：B = 2πknI 。其中n為單位長度螺線管的匝數(shù)。

2、安培力

a、對直導(dǎo)體，矢量式為 = I；或表達(dá)為大小關(guān)系式 F = BILsinθ再結(jié)合“左手定則”解決方向問題（θ為B與L的夾角）。

b、彎曲導(dǎo)體的安培力

⑴整體合力

折線導(dǎo)體所受安培力的合力等于連接始末端連線導(dǎo)體（電流不變）的的安培力。

證明：參照圖9-1，令MN段導(dǎo)體的安培力F1與NO段導(dǎo)體的安培力F2的合力為F，則F的大小為

F = 

  = BI

  = BI

關(guān)于F的方向，由于ΔFF2P∽ΔMNO，可以證明圖9-1中的兩個灰色三角形相似，這也就證明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形（這個證明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中點(diǎn)了。

證畢。

由于連續(xù)彎曲的導(dǎo)體可以看成是無窮多元段直線導(dǎo)體的折合，所以，關(guān)于折線導(dǎo)體整體合力的結(jié)論也適用于彎曲導(dǎo)體。（說明：這個結(jié)論只適用于勻強(qiáng)磁場。）

⑵導(dǎo)體的內(nèi)張力

彎曲導(dǎo)體在平衡或加速的情形下，均會出現(xiàn)內(nèi)張力，具體分析時，可將導(dǎo)體在被考查點(diǎn)切斷，再將被切斷的某一部分隔離，列平衡方程或動力學(xué)方程求解。

c、勻強(qiáng)磁場對線圈的轉(zhuǎn)矩

如圖9-2所示，當(dāng)一個矩形線圈（線圈面積為S、通以恒定電流I）放入勻強(qiáng)磁場中，且磁場B的方向平行線圈平面時，線圈受安培力將轉(zhuǎn)動（并自動選擇垂直B的中心軸OO′，因?yàn)橘|(zhì)心無加速度），此瞬時的力矩為

M = BIS

幾種情形的討論——

⑴增加匝數(shù)至N ，則 M = NBIS ；

⑵轉(zhuǎn)軸平移，結(jié)論不變（證明從略）；

⑶線圈形狀改變，結(jié)論不變（證明從略）；

*⑷磁場平行線圈平面相對原磁場方向旋轉(zhuǎn)α角，則M = BIScosα ，如圖9-3；

證明：當(dāng)α = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有垂直轉(zhuǎn)軸的的分量Bcosα才能產(chǎn)生力矩…

⑸磁場B垂直O(jiān)O′軸相對線圈平面旋轉(zhuǎn)β角，則M = BIScosβ ，如圖9-4。

證明：當(dāng)β = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有平行線圈平面的的分量Bcosβ才能產(chǎn)生力矩…

說明：在默認(rèn)的情況下，討論線圈的轉(zhuǎn)矩時，認(rèn)為線圈的轉(zhuǎn)軸垂直磁場。如果沒有人為設(shè)定，而是讓安培力自行選定轉(zhuǎn)軸，這時的力矩稱為力偶矩。

二、洛侖茲力

1、概念與規(guī)律

a、 = q，或展開為f = qvBsinθ再結(jié)合左、右手定則確定方向（其中θ為與的夾角）。安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)。

b、能量性質(zhì)

由于總垂直與確定的平面，故總垂直 ，只能起到改變速度方向的作用。結(jié)論：洛侖茲力可對帶電粒子形成沖量，卻不可能做功。或：洛侖茲力可使帶電粒子的動量發(fā)生改變卻不能使其動能發(fā)生改變。

問題：安培力可以做功，為什么洛侖茲力不能做功？

解說：應(yīng)該注意“安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)”這句話的確切含義——“宏觀體現(xiàn)”和“完全相等”是有區(qū)別的。我們可以分兩種情形看這個問題：（1）導(dǎo)體靜止時，所有粒子的洛侖茲力的合力等于安培力（這個證明從略）；（2）導(dǎo)體運(yùn)動時，粒子參與的是沿導(dǎo)體棒的運(yùn)動v1和導(dǎo)體運(yùn)動v2的合運(yùn)動，其合速度為v ，這時的洛侖茲力f垂直v而安培力垂直導(dǎo)體棒，它們是不可能相等的，只能說安培力是洛侖茲力的分力f1 = qv1B的合力（見圖9-5）。

很顯然，f1的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者說f1的正功和f2的負(fù)功的代數(shù)和為零）。（事實(shí)上，由于電子定向移動速率v1在10?5m/s數(shù)量級，而v2一般都在10?2m/s數(shù)量級以上，致使f1只是f的一個極小分量。）

☆如果從能量的角度看這個問題，當(dāng)導(dǎo)體棒放在光滑的導(dǎo)軌上時（參看圖9-6），導(dǎo)體棒必獲得動能，這個動能是怎么轉(zhuǎn)化來的呢？

若先將導(dǎo)體棒卡住，回路中形成穩(wěn)恒的電流，電流的功轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱。而將導(dǎo)體棒釋放后，導(dǎo)體棒受安培力加速，將形成感應(yīng)電動勢（反電動勢）。動力學(xué)分析可知，導(dǎo)體棒的最后穩(wěn)定狀態(tài)是勻速運(yùn)動（感應(yīng)電動勢等于電源電動勢，回路電流為零）。由于達(dá)到穩(wěn)定速度前的回路電流是逐漸減小的，故在相同時間內(nèi)發(fā)的焦耳熱將比導(dǎo)體棒被卡住時少。所以，導(dǎo)體棒動能的增加是以回路焦耳熱的減少為代價的。

2、僅受洛侖茲力的帶電粒子運(yùn)動

a、⊥時，勻速圓周運(yùn)動，半徑r =  ，周期T = 

b、與成一般夾角θ時，做等螺距螺旋運(yùn)動，半徑r =  ，螺距d = 

這個結(jié)論的證明一般是將分解…（過程從略）。

☆但也有一個問題，如果將分解（成垂直速度分量B2和平行速度分量B1 ，如圖9-7所示），粒子的運(yùn)動情形似乎就不一樣了——在垂直B2的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動？

其實(shí)，在圖9-7中，B1平行v只是一種暫時的現(xiàn)象，一旦受B2的洛侖茲力作用，v改變方向后就不再平行B1了。當(dāng)B1施加了洛侖茲力后，粒子的“圓周運(yùn)動”就無法達(dá)成了。（而在分解v的處理中，這種局面是不會出現(xiàn)的。）

3、磁聚焦

a、結(jié)構(gòu)：見圖9-8，K和G分別為陰極和控制極，A為陽極加共軸限制膜片，螺線管提供勻強(qiáng)磁場。

b、原理：由于控制極和共軸膜片的存在，電子進(jìn)磁場的發(fā)散角極小，即速度和磁場的夾角θ極小，各粒子做螺旋運(yùn)動時可以認(rèn)為螺距彼此相等（半徑可以不等），故所有粒子會“聚焦”在熒光屏上的P點(diǎn)。

4、回旋加速器

a、結(jié)構(gòu)&原理（注意加速時間應(yīng)忽略）

b、磁場與交變電場頻率的關(guān)系

因回旋周期T和交變電場周期T′必相等，故 =

c、最大速度 vmax = = 2πRf

5、質(zhì)譜儀

速度選擇器&粒子圓周運(yùn)動，和高考要求相同。

第二講 典型例題解析

一、磁場與安培力的計算

【例題1】兩根無限長的平行直導(dǎo)線a、b相距40cm，通過電流的大小都是3.0A，方向相反。試求位于兩根導(dǎo)線之間且在兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)的、與a導(dǎo)線相距10cm的P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。

【解說】這是一個關(guān)于畢薩定律的簡單應(yīng)用。解題過程從略。

【答案】大小為8.0×10?6T ，方向在圖9-9中垂直紙面向外。

【例題2】半徑為R ，通有電流I的圓形線圈，放在磁感強(qiáng)度大小為B 、方向垂直線圈平面的勻強(qiáng)磁場中，求由于安培力而引起的線圈內(nèi)張力。

【解說】本題有兩種解法。

方法一：隔離一小段弧，對應(yīng)圓心角θ ，則弧長L = θR 。因?yàn)棣?u> →

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同步練習(xí)冊答案