Question

16．如圖，真空中有一對豎直放置的平行金屬板，兩板之間的距離為d，在O點用長為l的絕緣輕繩系著質(zhì)量為m的帶電小球．當(dāng)兩板之間加上電壓U后，小球自O(shè)點正下方的A點開始向上運動到B點，之后又向下運動到A點，…如此往復(fù)．已知OB與豎直方向的夾角α=60°，重力加速度大小為g，求（結(jié)果可以用根式表示）
（1）小球所帶的電荷量q；
（2）小球的動能最大時輕繩與豎直方向的夾角θ為多少？最大動能E_km為多少？

Answer 1

分析 （1）小球自A點運動到B點，由動能定理列方程求解；
（2）小球由A運動到動能最大處，由動能定理列方程，根據(jù)數(shù)學(xué)知識求解極值即可．

解答 解：（1）設(shè)平行金屬板內(nèi)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為E，小球自A點運動到B點，由動能定理
qElsinα-mgl（1-cosα）=0，
而E=$\frac{U}78ommpr$
解得：q=$\frac{\sqrt{3}mgd}{3U}$；
（2）小球由A運動到動能最大處，由動能定理可得：
qElsinθ-mgl（1-cosθ）=E_km
即E_km=mgl（$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ+cosθ-1）
而$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ+cosθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（θ+60°）
故小球有最大動能時，θ=30°
最大動能$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$mgl．
答：（1）小球所帶的電荷量為$\frac{\sqrt{3}mgd}{3U}$；
（2）小球的動能最大時輕繩與豎直方向的夾角θ為30°；最大動能E_km為$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$mgl．

點評 有關(guān)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運動，可以從兩條線索展開：其一，力和運動的關(guān)系．根據(jù)帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運動學(xué)公式確定帶電粒子的速度和位移等；其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)電場力對帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用動能定理進(jìn)行解答．