Question

3．如圖所示，足夠長的圓柱形管底端固定一彈射器，彈射器上有一圓柱形滑塊，圓柱管和彈射器的總質(zhì)量為2m，滑塊的質(zhì)量為m，滑塊與管內(nèi)壁間的滑動摩擦力f=3mg．在恒定外力F=9mg的作用力下，圓柱管和滑塊以同一加速度豎直向上做勻加速直線運動．某時刻彈射器突然開啟，將滑塊向上以相對地面2v彈離圓柱管的底端，同時圓柱管也以速度v仍向上運動．忽略彈射過程中彈片的位置變化，忽略空氣影響，重力加速度為g．求：
（1）彈射后，滑塊相對管上升的最大距離；
（2）從滑塊被彈開到它第二次獲得相對地面速度大小為2v的過程中，摩擦力對滑塊做的功．

Answer 1

分析 （1）滑塊被彈射后與圓柱管共速前，滑塊做勻減速運動，管子做勻加速運動，根據(jù)牛頓第二定律求得各自的加速度，由速度時間公式求出共速時經(jīng)過的時間以及共同速度．再由位移公式求出此過程中兩者的位移，得到位移之差即相對位移，即為滑塊相對管上升的最大距離．
（2）共速后，假設(shè)兩者相對靜止，設(shè)圓柱管和滑塊系統(tǒng)的加速度為a₀，根據(jù)牛頓第二定律求得臨界加速度a₀，并求出滑塊所受的摩擦力，即可分析出兩者共速．再由速度位移公式求出滑塊從速度v₁至2v的過程中通過的位移，最后運用動能定理求摩擦力對滑塊做的功．

解答 解：（1）滑塊被彈射后與圓柱管共速前，設(shè)圓柱管和滑塊的加速度分別為a₁和a₂，根據(jù)牛頓第二定律，有：
  F+f-2mg=2ma₁                            ①
  mg+f=ma₂                                   ②
共速時滑塊相對管上升的距離最大，設(shè)經(jīng)過時間t₁后，兩者以v₁共速，由運動學(xué)公式，可知
  v₁=v+a₁t₁，v₁=2v-a₂t₁                               ③
聯(lián)立①②③，得
   t₁=$\frac{v}{9g}$                           ④
   v₁=$\frac{14v}{g}$                         ⑤
圓柱管的位移
   s₁=$\frac{v+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$                              ⑥
滑塊的位移
   s₂=$\frac{2v+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$                            ⑦
兩者相對位移
△s=s₂-s₁                           ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧，得
△s=$\frac{{v}^{2}}{18g}$                             ⑨
  s₂=$\frac{16{v}^{2}}{81g}$                           （10）
（2）共速后，假設(shè)兩者相對靜止，設(shè)圓柱管和滑塊系統(tǒng)的加速度為a₀，根據(jù)牛頓第二定律得
   F-（m+2m）g=（m+2m）a₀                           （11）
對滑塊  f₀-mg=ma₀                            （12）
聯(lián)立（11）（12），得
   a₀=2g     （13）
  f₀=3mg≤f                             （14）
結(jié)果表明假設(shè)成立，圓柱管與滑塊相對靜止向上以a₀勻加速向上運動．
滑塊從速度v₁至2v的過程中通過的位移為
   s₃=$\frac{（2v）^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{0}}$=$\frac{32{v}^{2}}{81g}$            （15）
滑塊被彈開到它第二次獲得相對地面速度大小為2v的過程中，設(shè)摩擦力做的總功W_f，根據(jù)動能定理得
-mg（s₂+s₃）+W_f=0   （16）
聯(lián)立（10）（15）（16）式，得
   W_f=$\frac{16m{v}^{2}}{27}$                                （17）
答：（1）彈射后，滑塊相對管上升的最大距離是$\frac{16{v}^{2}}{81g}$．
（2）摩擦力對滑塊做的功是$\frac{16m{v}^{2}}{27}$．

點評 分段分析滑塊和管子的運動情況是解決本題的關(guān)鍵，要注意分析臨界狀態(tài)：速度相同的條件，運用牛頓第二定律和運動學(xué)公式解答．