Question

18．由于受地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度隨地球緯度的增大而增大，地球兩極表面的重力加速度為g₀，地球赤道表面的重力加速度為g₁，假設(shè)地球是一個(gè)完整的球體，地球的半徑為R．
（1）求地球自轉(zhuǎn)的周期．
（2）有一科技愛好小組為了測定高速列車運(yùn)行的速度，在沿赤道線自西向東勻速運(yùn)動(dòng)的列車上，如圖所示，用一靈敏度較高的拉力傳感器將一質(zhì)量為M的物體豎直吊起，拉力傳感器的讀數(shù)為F，求高速列車相對(duì)地面的速度大�。�（已知地球繞地軸自西向東轉(zhuǎn)，不計(jì)高速列車運(yùn)動(dòng)過程中震動(dòng)對(duì)測量數(shù)據(jù)的影響）．

Answer 1

分析 （1）在兩極，萬有引力等于重力，在赤道處，萬有引力一部分提供向心力，一部分提供重力，據(jù)此列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）在赤道處，重物繩子的拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）在兩極，萬有引力等于重力，則有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
在赤道處，萬有引力一部分提供向心力，一部分提供重力，則有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}=m{g}_{1}$，
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{{g}_{0}-{g}_{1}}}$
（2）在赤道處，重物繩子的拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式得：
$M{g}_{1}-F=M\frac{（v+\frac{2πR}{T}）^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{（M{g}_{1}-F）R}{M}}-\sqrt{（{g}_{0}-{g}_{1}）R}$
答：（1）地球自轉(zhuǎn)的周期為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{{g}_{0}-{g}_{1}}}$．
（2）高速列車相對(duì)地面的速度大小為$\sqrt{\frac{（M{g}_{1}-F）R}{M}}-\sqrt{（{g}_{0}-{g}_{1}）R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題第二問要注意，重物做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度不是相對(duì)地面的速度，要加速地球自轉(zhuǎn)的線速度，難度適中．