Question

20．如圖所示，曲線Ⅰ是一顆繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星軌道的示意圖，其半徑為R；曲線Ⅱ是一顆繞地球橢圓運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星軌道的示意圖，O點(diǎn)為地球球心，AB為橢圓的長軸，兩軌道和地心都在同一平面內(nèi)，己知在兩軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期相等，萬有引力常量為G，地球質(zhì)量為M，下列說法正確的是（　�。�

• A． 橢圓軌道的長軸長度為2R
• B． 衛(wèi)星在Ⅰ軌道的速率為v₀，衛(wèi)星在Ⅱ軌道B點(diǎn)的速率為v_B，則v₀＞v_B
• C． 衛(wèi)星在Ⅰ軌道的加速度大小為a₀，衛(wèi)星在Ⅱ軌道A點(diǎn)加速度大小為a_A，則a₀＜a_A
• D． 若OA=0.5R，則衛(wèi)星在B點(diǎn)的速率v_B＞$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$

Answer 1

分析 根據(jù)開普勒定律比較長軸與R的關(guān)系，根據(jù)萬有引力的大小，通過牛頓第二定律比較加速度，結(jié)合速度的大小比較向心加速度的大小．

解答 解：A、根據(jù)題意，衛(wèi)星在兩軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期相等，根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$，知圓軌道的半徑R和橢圓軌道的半長軸相等，所以橢圓軌道的長軸長度為2R，故A正確；
B、設(shè)衛(wèi)星在虛線圓軌道上的速度為${v}_{1}^{\;}$，由虛線圓軌道進(jìn)入橢圓軌道速度減小，所以${v}_{1}^{\;}＞{v}_{B}^{\;}$，根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$知${v}_{0}^{\;}＞{v}_{1}^{\;}$，所以${v}_{0}^{\;}＞{v}_{B}^{\;}$，故B正確；
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，軌道Ⅰ半徑大于軌道Ⅱ的A點(diǎn)到O點(diǎn)距離，所以${a}_{0}^{\;}＜{a}_{A}^{\;}$，故C正確；
D、若OA=0.5R，則OB=1.5R，人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，如果衛(wèi)星以O(shè)B為軌道半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則$v=\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，在Ⅱ軌道上，衛(wèi)星在B點(diǎn)要減速，做近心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星在B點(diǎn)的速度
${v}_{B}^{\;}＜\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬有引力定律、開普勒第三定律、牛頓第二定律等知識(shí)，知道衛(wèi)星變軌的原理是解決本題的關(guān)鍵．