Question

11．如圖甲所示，一個質(zhì)量為M的木板靜止在光滑的水平桌面上，用勁度系數(shù)為k的輕彈簧將板連在豎直墻上，開始時彈簧處于原長．一質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點）從木板左端以初速度v₀滑上長木板，最終恰好停在長木板的右端．通過傳感器、數(shù)據(jù)采集器、計算機繪制出物塊和木板的v-t圖象，如圖乙所示，其中A為物塊的v-t圖線，B為木板的v-t圖線且為正弦函數(shù)圖線．根據(jù)圖中所給信息，求：
（1）物塊與木板間的滑動摩擦因數(shù)μ；
（2）從開始到t=$\frac{T}{4}$s系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量Q；
（3）若物塊從木板左端以更大的初速度v₁滑上長木板，則初速度v₁取何值時，才能讓木板與彈簧組成的系統(tǒng)最終獲得最大的機械能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v-t圖象可知物體做勻減速直線運動，根據(jù)速度公式和牛頓第二定律聯(lián)立求解；
（2）當t=$\frac{T}{4}$時木板速度達到最大，加速度為零，由平衡可求的彈簧的壓縮量，根據(jù)運動學公式求出木塊的位移，根據(jù)產(chǎn)生的熱量Q=f△x即可求出熱量；
（3）當$t=\frac{T}{2}$時物塊剛好脫離木板，此時木板相對地面向右運動的位移最大，摩擦力對木板做的正功最大，木板與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)獲得最大的機械能，根據(jù)相對位移關(guān)系即可求解．

解答 解：（1）由圖象可知物塊做勻減速運動，t=T時停止．
由v=v₀+at得：
物塊的加速度為：$a=\frac{{v}_{0}}{T}$…①
對物塊由牛頓第二定律得：μmg=ma…②
①②聯(lián)立得：$μ=\frac{{v}_{0}}{gT}$
（2）當t=$\frac{T}{4}$時木板速度達到最大，加速度為零，由平衡得：kx=μmg
解得；$x=\frac{μmg}{k}=\frac{m{v}_{0}}{kT}$
從開始到t=$\frac{T}{4}$時木塊的位移為：$s={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{7{v}_{0}T}{32}$
所以產(chǎn)生的熱量為：$Q=f△s=f（s-x）=μmg（\frac{7{v}_{0}T}{32}-\frac{m{v}_{0}}{kT}）=\frac{7m{{v}_{0}}^{2}}{32}-\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{k{T}^{2}}$
（3）當$t=\frac{T}{2}$時物塊剛好脫離木板，此時木板相對地面向右運動的位移最大，摩擦力對木板做的正功最大，木板與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)獲得最大的機械能．
木塊的位移為：${s}_{1}={v}_{1}\frac{T}{2}-\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}=\frac{{v}_{1}T}{2}-\frac{{v}_{0}T}{8}$
木板的位移為：${s}_{2}=2x=\frac{2m{v}_{0}}{kT}$
木塊以初速度滑上長木板，最終恰好停在長木板的右端，則板長$L=\frac{{v}_{0}T}{2}$
木塊脫離木板，有：s₁-s₂=L
代入數(shù)據(jù)得：v₁═$\frac{5{v}_{0}}{4}+\frac{4m{v}_{0}}{k{T}^{2}}$
答：（1）物塊與木板間的滑動摩擦因數(shù)μ$\frac{{v}_{0}}{gT}$；
（2）從開始到t=$\frac{T}{4}$s系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量Q$\frac{7m{{v}_{\;}}^{2}}{32}-\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{k{T}^{2}}$；
（3）初速度v₁為$\frac{5{v}_{0}}{4}+\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{k{T}^{2}}$時才能讓木板與彈簧組成的系統(tǒng)最終獲得最大的機械能．

點評 本題是關(guān)于對運動問題，關(guān)鍵時通過受力分析判斷物體的運動狀態(tài)，然后根據(jù)位移關(guān)系和運動學公式及Q=f△x列式求解即可．