Question

（15分）1997年8月26日在日本舉行的國際天文學(xué)會上，德國Max Planck學(xué)會的一個研究組宣了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在一個在黑洞。他們的根據(jù)是用口徑為3.5m的天文望遠(yuǎn)鏡對獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進行近六年的觀測所得到的數(shù)據(jù)，他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中心約60億公里的星體正以的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見提示2），通過計算確認(rèn)，如果銀河系中心確實存在黑洞的話，其最大半徑是多少。（引力常數(shù)）

提示：1. 黑洞是一種密度極大的天體，其表面的引力是如此之強，以至于包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都不了其引力作用。

2．計算中可以采用拉普拉斯經(jīng)典黑洞模型，在這種模型中，在黑洞表面上的所有物質(zhì)，即使初速度等于光速也逃脫不了其引力的作用。

Answer 1

參考解答

首先求出一定質(zhì)量的引力源成為黑洞應(yīng)滿足的條件．按照黑洞的定義，包括以光速運動的光子也不能脫離黑洞的吸引，即不能逃離黑洞的表面．而拉普拉斯經(jīng)典黑洞模型則把光看做是以光速運動的某種粒子．我們知道，物體在引力作用下的勢能是負(fù)的，物體恰能逃離引力作用，表示物體運動到無限遠(yuǎn)的過程中，其動能恰好全部用于克服引力做功．物體在無限遠(yuǎn)處時，動能和勢能都等于零．這意味著該物體處在引力源表面處時，其動能與勢能之和亦等于零．物體不能逃離引力作用，表示該物體尚未到達無限遠(yuǎn)處，其動能已全部用于克服引力做功，但引力勢能仍是負(fù)的．這意味著它在引力源表面處時，其動能與勢能之和小于零．若某引力源的質(zhì)量為，半徑為，質(zhì)量為的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不能逃離引力作用，則按牛頓力學(xué)的觀點應(yīng)有下列關(guān)系：

                                               （1）

或

                                                          （2）

這就是說，對于質(zhì)量為的引力源，只有其半徑（叫做黑洞的引力半徑）小于時才會在其表面產(chǎn)生足夠強的引力，使得包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都不能脫離其引力作用．對光而言，人們將無法通過光學(xué)測量看到它，這就是把它叫做黑洞的原因．

現(xiàn)在再來根據(jù)觀測數(shù)據(jù)確定存在于銀河系中心的大黑洞的半徑．設(shè)位于銀河系中心的引力源的質(zhì)量為，繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)的星體的質(zhì)量為，該星體做圓周運動時，有下列關(guān)系：

  即                            （3）

為軌道半徑．若該引力源為黑洞，則其質(zhì)量分布球的半徑應(yīng)滿足（2）式，即

                                    （4）

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，，，而，把這些數(shù)據(jù)代入（4）式，得

                                           （5）

這說明，對質(zhì)量由（3）式?jīng)Q定的引力源來說，半徑小于時才是黑洞，大于這個數(shù)值則不是黑洞．所以如果銀河系中心存在黑洞的話，該黑洞的半徑小于．