Question

20．如圖所示，可視為質點的三個物塊A、B、C質量分別為m₁、m₂、m₃，三物塊間有兩根輕質彈簧a、b，其原長均為l₀，勁度系數(shù)分別為k_a、k_b．a(chǎn)的兩端與物塊連接，b的兩端與物塊只接觸不連接，a、b被壓縮一段距離后，分別由質量忽略不計的硬質連桿鎖定，此時b的長度為l，整個裝置豎直置于水平地面上，重力加速度為g，不計空氣阻力．
（1）現(xiàn)解除對a的鎖定，若當B到達最高點時，A對地面壓力恰為零，求此時C距地面的高度H；
（2）在B到達最高點瞬間，解除a與B的連接并撤走A與a，同時解除對b的鎖定．設b恢復形變時間極短，此過程中彈力沖量遠大于重力沖量，求C的最大速度的大小v₃（理論表明彈簧的彈性勢能可以表示為E_p=$\frac{1}{2}$k△x²，其中，k為彈簧的勁度系數(shù)，△x為彈簧的形變量）；
（3）求C自b解鎖瞬間至恢復原長時上升的高度h．

Answer 1

分析 （1）對A分析，根據(jù)胡克定律和共點力平衡求出a彈簧的伸長的長度△x₂．即可求得C距地面的高度
（2）解除aB連接后，當B彈簧恢復原長時，C的速度最大為v₃，此時B的速度為v₂，因為不考慮重力的影響，BC組成的系統(tǒng)動量守恒，結合動量守恒定律和機械能守恒定律求出球C的最大速度的大�。�
（3）結合動量守恒定律，求出C自b解鎖瞬間至恢復原長時上升的高度．

解答 解：（1）解鎖之前a彈簧的壓縮量為x₁，由（m₂+m'₃）g=k_ax₁可得${x}_{1}=\frac{{（m}_{2}+{m}_{3}）g}{{k}_{a}}$
BC到達最高點時，彈簧伸長△x₂，有
m₁g=k_a△x₂，求得$△{x}_{2}=\frac{{m}_{1}g}{{k}_{a}}$．
此時此時C距地面的高度H=$l+{l}_{0}+{x}_{2}=l+{l}_{0}+\frac{{m}_{1}g}{{k}_{a}}$
（2）解除aB連接后，當B彈簧恢復原長時，C的速度最大為v₃，此時B的速度為v₂，因為不考慮重力的影響，BC組成的系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定C的速度方向為正方向，
有m₃v₃-m₂v₂=0
此過程中BC和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，
有 $\frac{1}{2}$m₃${v}_{3}^{2}$+$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$k_b（l₀-l）²，
求得v₃=$\sqrt{\frac{{m}_{2}{k}_}{{m}_{2}{m}_{3}{+m}_{3}^{2}}}（{l}_{0}-l）$
（3）設從解除a與B的連接到C的速度達到最大所用的時間為△t，此過程中B和C移動的距離分別是h₂，h₃．有m₃v₃△t-m₂v₂△t=0，
即：m₂h₂-m₃h₃=0，
且：h₂+h₃=（l₀-l），
求得：h₃=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}$（l₀-l）．
答（1）現(xiàn)解除對a的鎖定，若當B到達最高點時，A對地面壓力恰為零，此時C距地面的高度H為$l+{l}_{0}+\frac{{m}_{1}g}{{k}_{a}}$；
（2）C的最大速度的大小v₃ $\sqrt{\frac{{m}_{2}{k}_}{{m}_{2}{m}_{3}{+m}_{3}^{2}}}（{l}_{0}-l）$
（3）求C自b解鎖瞬間至恢復原長時上升的高度h為=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}$（l₀-l）

點評 本題考查了牛頓第二定律、共點力平衡、動量守恒定律、機械能守恒定律、胡克定律的綜合運用，綜合性較強，對學生的能力要求較高．知道BC整體做簡諧運動的對稱性．