Question

9．如圖所示，aa′、bb′、cc′、dd′為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的豎直邊界，三個區(qū)域的寬度相同，長度足夠大，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)分別存在垂直紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅱ存在豎直向下的勻強(qiáng)電場．一群速率不同的帶正電的某種粒子，從邊界aa′上的O處，沿著與Oa成30°角的方向射入Ⅰ區(qū)．速率小于某一值的粒子在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動時間均為t₀；速率為v₀的粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動$\frac{{t}_{0}}{5}$后進(jìn)入Ⅱ區(qū)．已知Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，Ⅱ區(qū)的電場強(qiáng)度大小為2Bv₀，不計粒子重力．求：
（1）該種粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）區(qū)域Ⅰ的寬度d；
（3）速率為v₀的粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)運(yùn)動的初、末位置間的電勢差U；
（4）要使速率為v₀的粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)后能返回到Ⅰ區(qū)，Ⅲ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小范圍應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速原子能運(yùn)動，洛倫茲力了提供向心力，作出粒子運(yùn)動軌跡，求出粒子轉(zhuǎn)過的圓心角，應(yīng)用牛頓第二定律與周期公式可以求出粒子的比荷．
（2）作出粒子運(yùn)動軌跡，求出粒子做圓周運(yùn)動的圓心角，根據(jù)粒子軌道半徑應(yīng)用幾何知識求出區(qū)域的寬度．
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律與動能定理求出電勢差．
（4）求出粒子做圓周運(yùn)動的臨界半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出臨界磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后確定其范圍．

解答 解：（1）速率小于某一值的粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動時間均為t₀，這些粒子不能從bb′離開區(qū)域Ⅰ，
其軌跡如圖a所示（圖中只畫出某一速率粒子的軌跡）．粒子運(yùn)動軌跡的圓心角為：φ₁=300°①
粒子在磁場中的運(yùn)動時間：t₀=$\frac{300°}{360°}$T=$\frac{5}{6}$T ②
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ③
粒子做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πR}{v}$  ④
解得，粒子的比荷：$\frac{q}{m}$=$\frac{5π}{3{t}_{0}B}$  ⑤；
（2）設(shè)速率為v₀的粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)運(yùn)動軌跡所對圓心角為φ₂，φ₂=$\frac{1}{5}$φ₁=60°⑥
由幾何知識可知，穿出bb′時速度方向與bb′垂直，其軌跡如圖b所示，設(shè)軌跡半徑為R₀，
由幾何知識得：d=R₀sinφ₂ ⑦
粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑：R₀=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
區(qū)域Ⅰ的寬度：d=$\frac{3\sqrt{3}{v}_{0}{t}_{0}}{10π}$  ⑧
（3）設(shè)速率為v₀的粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度大小為v₁，方向與邊界cc′的夾角為φ₃，
水平方向有d=v₀t　豎直方向有v_y=at⑨
加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{2qB{v}_{0}}{m}$   ⑩
由幾何知識得：tan φ₃=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$⑪
速度：v₁=2v₀ ⑫解得：φ₃=30°⑬
由動能定理得qU=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²⑭
解得：U=$\frac{9{t}_{0}B{v}_{0}^{2}}{10π}$⑮
（4）速率為v₀的粒子在區(qū)域Ⅲ內(nèi)做圓周運(yùn)動，當(dāng)Ⅲ區(qū)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁時，
粒子恰好不能從區(qū)域Ⅲ的邊界dd′飛出，設(shè)其軌跡半徑為r，則：r（1+cos φ₃）=d⑯
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
粒子軌道半徑：r=$\frac{m{v}_{1}}{q{B}_{1}}$，解得：B₁=$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$B⑰
所以，粒子能返回Ⅰ區(qū)，B′的大小范圍為B′≥$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$B⑱
答：（1）該種粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{5π}{3{t}_{0}B}$．
（2）區(qū)域Ⅰ的寬度d為$\frac{3\sqrt{3}{v}_{0}{t}_{0}}{10π}$；
（3）速率為v₀的粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)運(yùn)動的初、末位置間的電勢差U為$\frac{9{t}_{0}B{v}_{0}^{2}}{10π}$；
（4）要使速率為v₀的粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)后能返回到Ⅰ區(qū)，Ⅲ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小范圍應(yīng)為：B′≥$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$B．

點評 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動是整個高中的重點，也是高考的必考的內(nèi)容，帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的解題關(guān)鍵是：作出粒子運(yùn)動的軌跡圖，通過幾何關(guān)系找出粒子運(yùn)動的半徑以及圓心角的大小，掌握粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑公式和周期公式．