Question

1．如圖，在xoy平面內(nèi)，第一象限內(nèi)存在著方向垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第二象限內(nèi)存在著平行于x軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），一質(zhì)量為m，電荷量為-q的粒子（不計(jì)重力），從直角坐標(biāo)系x軸上的M點(diǎn)以v₀的速度平行于y軸正方向射出，M點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d，帶電粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從y軸上N點(diǎn)進(jìn)入第一象限，N點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2d，帶電粒子通過第一象限的磁場(chǎng)后，垂直于x軸進(jìn)入第四象限．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的大小和粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）若要使帶電粒子從第四象限垂直于y軸進(jìn)入第三象限，在第四象限內(nèi)加有一圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xoy平面向里，所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是第一象限磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩倍，求此圓形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）求出粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角，然后根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律與幾何知識(shí)求出磁場(chǎng)的最小半徑，然后求出最小面積．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t
則有：2d=v₀t，d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$；
帶電粒子受力方向向右，粒子帶負(fù)電，因此電場(chǎng)方向應(yīng)為x負(fù)方向；
（2）帶電粒子運(yùn)動(dòng)至N點(diǎn)時(shí)，其豎直速度：v_y=v₀，水平速度：v_x=at=v₀，
故帶電粒子運(yùn)動(dòng)至N點(diǎn)時(shí)的速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，方向：與y軸成45⁰夾角；
又帶電粒子垂直于x軸進(jìn)入第四象限，由幾何知識(shí)可知（如圖所示），
帶電粒子在第一象限做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在x軸上，其運(yùn)動(dòng)半徑：R=2$\sqrt{2}$d，
帶電粒子在第一象限轉(zhuǎn)過的圓心角為135°；
因此，帶電粒子在第一象限的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t′=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{135°}{360°}$×$\frac{2πR}{v}$=$\frac{3πd}{2{v}_{0}}$；
（3）要使帶電粒子從第四象限垂直于y軸進(jìn)入第三象限，則帶電粒子在磁場(chǎng)中必定轉(zhuǎn)過90°，如圖所示，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$，第四象限內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度是第一象限磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩倍，
因此帶電粒子在第四象限中運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{R}{2}$，所以所加圓形磁場(chǎng)的最小半徑為：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{R}{2}$=d，
因此此圓形區(qū)域的最小面積為：S_min=πr²=πd²．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，方向：沿x軸負(fù)方向；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的大小和粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{3πd}{2{v}_{0}}$；
（3）此圓形區(qū)域的最小面積為πd²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題；解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用；處理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的基本思路是：作出運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓心，求半徑、求圓心角，然后應(yīng)用牛頓第二定律求解．