Question

3．如圖所示，曲線 I 是一顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的軌道示意圖，其半徑為 R，曲線 II 是一顆繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的軌道示意圖，O點(diǎn)為地球球心，AB為橢圓的長(zhǎng)軸，PQ為短軸和橢圓軌道的交點(diǎn)，兩軌道和地心都在同一平面內(nèi)，己知在兩軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期相等，萬(wàn)有引力常量為 G，地球質(zhì)量為 M，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 橢圓軌道的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2R
• B． 衛(wèi)星沿Ⅱ軌道由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所需要的時(shí)間為橢圓軌道運(yùn)動(dòng)周期的一半
• C． 衛(wèi)星在 I 軌道P點(diǎn)的加速度大小為a₁，在II 軌道P 點(diǎn)加速度大小為 a₂，則 a₁=a₂
• D． 若OA=0.5R，則衛(wèi)星在 B 點(diǎn)的速率 v_B＜$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$

Answer 1

分析 根據(jù)開(kāi)普勒定律比較長(zhǎng)軸與R的關(guān)系，根據(jù)萬(wàn)有引力的大小，通過(guò)牛頓第二定律比較加速度，當(dāng)引力大于向心力時(shí)做向心運(yùn)動(dòng)．

解答 解：A、根據(jù)開(kāi)普勒第三定律知：$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=C，因?yàn)橹芷谙嗟龋瑒t橢圓的半長(zhǎng)軸與圓軌道半徑相等，則橢圓軌道的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2R．則A正確；
B、沿Ⅱ軌道由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所需要的時(shí)間在PQ連線的左側(cè)速度快用時(shí)短，在PQ連線的右側(cè)速度慢歷時(shí)長(zhǎng)，則B錯(cuò)誤
C、在同一點(diǎn)萬(wàn)有引力產(chǎn)生加速度，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$則加速度相等．則C正確
D、若OA=0.5R，則OB為$\frac{3}{2}R$，因在B點(diǎn)做向心運(yùn)動(dòng)則v_B$＜\sqrt{\frac{GM}{\frac{3}{2}R}}$=$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，則D正確
故選：ACD

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律、開(kāi)普勒定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，知道A做圓周運(yùn)動(dòng)，靠萬(wàn)有引力提供向心力，抓住A、B的周期相等這一條件是解題的關(guān)鍵．