Question

4．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自主發(fā)展、獨立運(yùn)行的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由空間段、地面段和用戶段三部分組成，空間段包括5顆靜止軌道衛(wèi)星和30顆非靜止軌道衛(wèi)星，假設(shè)一顆非靜止軌道衛(wèi)星a在軌道上繞行n圈所用時間為t，如圖所示，已知地球的半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，引力常量為G，求：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）地球的第一宇宙速度v₁；
（3）衛(wèi)星a離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）在地球表面，物體重力等于萬有引力，根據(jù)萬有引力定律列式求解即可；
（2）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（3）衛(wèi)星a在軌道上繞行n圈所用時間為t，可以得到周期T；萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解高度．

解答 解：（1）在地球表面，物體重力等于萬有引力，故有：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，重力提供向心力，故有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（3）衛(wèi)星a在軌道上繞行n圈所用時間為t，故有：t=nT
萬有引力提供向心力，故有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}（R+h）$
聯(lián)立解得：h=$\root{3}{\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）地球的質(zhì)量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）地球的第一宇宙速度v₁為$\sqrt{gR}$；
（3）衛(wèi)星a離地面的高度h為$\root{3}{\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

點評 本題關(guān)鍵明確衛(wèi)星的動力學(xué)原理，根據(jù)牛頓第二定律列式求解，注意只有地面附近的重力加速度為g．