Question

2．如圖所示，豎直平面內(nèi)固定著內(nèi)壁光滑的“L”形圓筒MNP，其中MN段豎直．NP段水平，MN右側(cè)與NP上側(cè)均有光滑的狹縫．長為L的輕桿兩端連接質(zhì)量均為m的兩個相同小球A和B，小球的直徑略小于圓筒內(nèi)徑，可在其內(nèi)自由滑動．開始時桿與水平面成60°角，為了使系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，可對小球B施加一水平向左的外力F．
（1）求圓筒對小球A的作用力N和外力F的大小；
（2）撤去外力F后，小球A將圓筒下滑，當(dāng)它剛要到N點(diǎn)時速度為多大？
（3）當(dāng)桿與水平面夾角為多大時，B球的速度最大？求此最大速度．

Answer 1

分析 （1）分別對A與B進(jìn)行受力分析，結(jié)合共點(diǎn)力平衡的條件即可求出；
（2）A到達(dá)N時，B的速度恰好為0，由機(jī)械能守恒即可求出；
（3）設(shè)桿與水平方向之間的 夾角，由機(jī)械能守恒以及分速度之間的關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）由題可知，A受到重力、桿的沿作用力以及筒壁的作用力，三力平衡，則筒壁的支持力：
F=$\frac{mg}{tan60°}=\frac{\sqrt{3}mg}{3}$
對A、B組成的整體，水平方向只受到A處筒壁的支持力以及B受到的推力F，由二力平衡可得：
F=N=$\frac{\sqrt{3}mg}{3}$
（2）當(dāng)A到達(dá)N點(diǎn)時，A的速度的方向豎直向下，沿桿的方向沒有分速度，所以B的速度恰好等于0．A向下運(yùn)動的過程中A與B組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，對：
$mgLsin60°=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以：v=$\sqrt{\sqrt{3}gL}$
（3）設(shè)桿與水平方向之間的 夾角θ時B的速度最大，設(shè)此時A的速度為vA，B的速度為vB，則A與B沿桿方向的分速度是相等的，對A與B點(diǎn)的速度分解如圖：

則：v_Asinθ=v_Bcosθ
對A與B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒得：
mgLsin60°-mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立解得：${v}_{B}=\sqrt{gL（\sqrt{3}-2sinθ）sinθ}$
由二項(xiàng)式定理可知，當(dāng)$（\sqrt{3}-2sinθ）=sinθ$時，B的速度最大，即
由機(jī)械能守恒以及分速度之間的關(guān)系即可求出
當(dāng)$sinθ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=$arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$時，B的速度最大，聯(lián)立可得：${v}_{Bmax}=\frac{\sqrt{\sqrt{3}gL}}{3}$
答：（1）圓筒對小球A的作用力N和外力F的大小都是$\frac{\sqrt{3}mg}{3}$；
（2）撤去外力F后，小球A將圓筒下滑，當(dāng)它剛要到N點(diǎn)時速度為$\sqrt{\sqrt{3}gL}$；
（3）當(dāng)桿與水平面夾角為$arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$時，B球的速度最大．求此最大速度為$\frac{\sqrt{\sqrt{3}gL}}{3}$．

點(diǎn)評 該題的情景比較新穎，涉及的知識點(diǎn)比較多，解答的關(guān)鍵是要明確在運(yùn)動的過程中，A與B的速度的大小不一定相等，要結(jié)合幾何關(guān)系找出它們的速度之間的關(guān)系．