Question

12．雪橇運動在北方很受人們歡迎，其簡化模型如圖所示．傾角θ=37°的直線雪道AB與曲線雪道BCDE在B點平滑連接，其中A、E兩點在同一水平面上，雪道最高點C所對應(yīng)的圓弧半徑R=10m，B、C兩點距離水平面AE的高度分別為h₁=18m、h₂=18.1m，雪橇與雪道間的動摩擦因數(shù)μ=0.1．游客可坐在電動雪橇上由A點從靜止開始向上運動．若電動雪橇以恒定功率P=1.03kW工作t=10s時間后自動關(guān)閉，則雪橇和游客（總質(zhì)量M=50kg）到達(dá)C點時的速度v_C=1m/s，到達(dá)E點時的速度v_E=9m/s．已知雪橇運動過程中不脫離雪道，sin37°=0.6，重力加速度g取10m/s²．
（1）求雪橇在C點時對雪道的壓力；
（2）求雪橇在BC段克服摩擦力做的功；
（3）求雪橇和游客的整體從C點運動到E點過程中損失的機械能；
（4）若僅將DE段改成與曲線雪道CD段平滑連接的傾斜直線軌道（如圖中虛線所示），則雪橇和游客的整體從C點運動到E點過程中損失的機械能將增加還是減少？請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）選雪橇和游客的整體為研究對象，對其運動到C點進行受力分析，運用牛頓第二定律即可求出雪橇在C點時對雪道的壓力；
（2）從A到C對雪橇和游客的整體運用動能定理，即可求出雪橇在BC段克服摩擦力做的功；
（3）對整體從C到E運用動能定理，求出摩擦力做功，根據(jù)功能原理即可求出C點運動到E點過程中損失的機械能；
（4）運用微積分思想求出曲線軌道上摩擦力做功，與傾斜直線軌道上摩擦力做功做比較，即可判斷雪橇和游客的整體從C點運動到E點過程中損失機械能的情況．

解答 解：（1）設(shè)C點軌道對雪橇的支持力為N_C，根據(jù)牛頓第二定律可得：N_C-Mg=M$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N_C=Mg+M$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=50×10+50×$\frac{{1}^{2}}{10}$N=505N
根據(jù)牛頓第三定律可得，雪橇在C點時對雪道的壓力：N_C′=N_C=505N
（2）設(shè)雪橇在BC段克服摩擦力做的功為W_BC，
從A到C對雪橇和游客的整體運用動能定理可得：Pt-Mgh₂-μMg•$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$•cosθ-W_BC=$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$
解得：W_BC=25J
（3）對整體從C到E運用動能定理可得：Mgh₂-W_CE=$\frac{1}{2}M{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$
從C到E克服摩擦力做功：W_CE=7050J
所以整體從C點運動到E點過程中損失的機械能：W_損=W_CE=7050J
（4）設(shè)D到E的水平距離為L，
平滑連接的傾斜直線軌道傾角為θ，摩擦力做功：W_f1=-μmgcosθ•$\frac{L}{cosθ}$=μmgL

曲線軌道上任選極短一段如圖所示，將這一小段近似看成傾角為α的傾斜直線軌道，該端軌道在水平方向上的投影長為△x，
則摩擦力在該段軌道上做功：W_f=-μmgcosα•△x$\frac{1}{cosα}$=μmg△x
所以整個曲線軌道摩擦力做功等于每一小段摩擦力做功的累加，即：W_f2=-μmg∑△x=μmgL
故兩軌道的摩擦力做功相同：W_f1=W_f2=△E_損
所以雪橇和游客的整體從C點運動到E點過程中損失的機械能相同．
答：（1）雪橇在C點時對雪道的壓力為505N；
（2）雪橇在BC段克服摩擦力做的功為25J；
（3）雪橇和人的整體從C點運動到E點過程中損失的機械能為7050J；
（4）若僅將DE段改成與曲線雪道CD段平滑連接的傾斜直線軌道，則雪橇從C點運動到E點過程中損失的機械能不變，證明過程見解析．

點評 本題考查動能定理的綜合運用，解題關(guān)鍵是要分好過程，明確每一個過程的運動形式，選擇合適的規(guī)律解決問題，注意運用W=Pt去求解功率恒定的變力做功；注意理解體會第（3）問中運用的微積分思想．