精英家教網(wǎng)如圖所示,直角坐標平面xOy內(nèi)有一條直線AC過坐標原點O與x軸成45°夾角,在OA與x軸負半軸之間的區(qū)域內(nèi)存在垂直xOy平面向外的勻強磁場B,在OC與x軸正半軸之間的區(qū)域內(nèi)存在垂直xOy平面向外的勻強磁場B2.現(xiàn)有一質(zhì)量為m,帶電量為q(q>0)的帶電粒子以速度v從位于直線AC上的P點,坐標為(L,L),豎直向下射出,經(jīng)測量發(fā)現(xiàn),此帶電粒子每經(jīng)過相同的時間T,會再將回到P點,已知距感應強度B2=
mv
qL
.(不計粒子重力)
(1)請在圖中畫出帶電粒子的運動軌跡,并求出勻強磁場B1與B2的比值;(B1、B2磁場足夠大)
(2)求出帶電粒子相鄰兩次經(jīng)過P點的時間間隔T;
(3)若保持磁感應強度B2不變,改變B1的大小,但不改變其方向,使B1=
mv
2qL
.現(xiàn)從P點向下先后發(fā)射速度分別為
v
4
v
3
的與原來相同的帶電粒子(不計兩個帶電粒子之間的相互作用力,并且此時算作第一次經(jīng)過直線AC),如果它們第三次經(jīng)過直線AC時軌跡與AC的交點分別 記為E點和F點(圖中未畫出),試求EF兩點間的距離.
(4)若要使(3)中所說的兩個帶電粒子同時第三次經(jīng)過直線AC,問兩帶電粒子第一次從P點射出時的時間間隔△t要多長?
分析:(1)粒子在磁場中做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑;真空中做勻速直線運動;畫出軌跡;
(2)根據(jù)t=
θ
?T
和T=
2πm
qB
求解出圓周運動的時間,再求解出勻速直線運動的時間后相加即可;
(3)粒子做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律求解出半徑之間的關系,然后畫出對應的軌跡,得到EF間距;
(4)兩帶電粒子在同一磁場中的周期相同,轉(zhuǎn)過的圓心角也相同,故在同一磁場中的運動時間相同,所以時間間隔△t就是直線運動的時間差.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)帶電粒子從P點勻速運動到Q點,然后作半徑為:qvB2=m
v2
R2
?R2=
mv
qB2
=L
的勻速圓周運動,運動到H點時的速度方向與AC垂直,從H點勻速運動到D點,后作勻速圓周運動到P點.
根據(jù)平面幾何知識可知:
.
PO
=
.
OD
=
2
L
,四邊形AODOR1R為棱形,OR1R為圓心,即帶電粒子在勻強磁場BR1R中作勻速圓周運動時的半徑RR1R為
2
L
,根據(jù)qvB1=m
v2
R1

得:B1=
2
mv
2qL
=
2
2
B2
;
(2)T=t1+t2+t3+t4
t1=
L
v

t2=
3
8
T2=
3πL
4v
,
t3=
L
v
,
t4=
5
8
T2=
5
2
πL
4v

解得:T=t1+t2+t3+t4=
(8+3π+5
2
π)L
4v

(3)兩帶電粒子在磁場BR2R中運動時的半徑為:R2=
m
v
4
qB2
=
L
4
,
R2=
m
v
3
qB2
=
L
3

B1=
mv
2qL
=
B2
2

故粒子在磁場BR1R中的運動半徑:
R1=
mv
qB1
=2R2
,
則兩帶電粒子都剛好運動
1
4
圓周到達A點,所以EF兩點間的距離EF=0(如圖所示);
(4)兩帶電粒子在同一磁場中的周期相同,轉(zhuǎn)過的圓心角也相同,故在同一磁場中的運動時間相同,所以時間間隔△t就是直線運動的時間差:
△t=
L+
L
2
v
4
-
L+
L
3
v
3
=
2L
v
;
答:(1)帶電粒子的運動軌跡如圖所示,勻強磁場B1與B2的比值為
2
2
;
(2)帶電粒子相鄰兩次經(jīng)過P點的時間間隔T為
(8+3π+5
2
π)L
4v
;
(3)EF兩點間的距離為0.
(4)兩帶電粒子第一次從P點射出時的時間間隔△t為
2L
v
點評:本題關鍵明確粒子的運動性質(zhì),畫出運動軌跡,然后分勻速圓周運動和直線運動階段討論.
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1:3
1:3

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坐標原點應為小球在槽口時球心在木板上的水平投影點
坐標原點應為小球在槽口時球心在木板上的水平投影點

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x
g
2y
x
g
2y
,真實值為
x
g
2y+d
x
g
2y+d

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