Question

6．2016年8月16日1時(shí)40時(shí)，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功將世界首顆量子衛(wèi)星“墨子號(hào)”發(fā)射升空，在距離地面高度為h的軌道上運(yùn)行．設(shè)火箭點(diǎn)火后在時(shí)間t內(nèi)豎直向上勻加速飛行，勻加速過(guò)程的末速度為v，這一過(guò)程對(duì)應(yīng)的質(zhì)量為m，認(rèn)為“墨子號(hào)”最終在軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，忽略時(shí)間t內(nèi)火箭的質(zhì)量變化，不考慮空氣阻力的影響，下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 火箭豎直向上勻加速過(guò)程中的推力為$\frac{mv}{t}$
• B． 火箭豎直向上勻加速飛行的過(guò)程中克服重力做功的平均功率為mgv
• C． 地球的平均密度為 $\frac{3g}{4πGR}$
• D． “墨子號(hào)”在最終軌道上繞地球運(yùn)行的周期為$\frac{2m（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$

Answer 1

分析 由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到火箭加速度，進(jìn)而得到合外力，再根據(jù)受力分析得到推理；由運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得位移即可得到克服重力做功的平均功率；根據(jù)在地球表面重力即萬(wàn)有引力，及在軌道上運(yùn)行萬(wàn)有引力做向心力即可求得地球密度即運(yùn)行周期．

解答 解：A、火箭豎直向上勻加速過(guò)程中加速度$a=\frac{v}{t}$，故由牛頓第二定律可知：合外力$F=ma=\frac{mv}{t}$，那么對(duì)火箭進(jìn)行受力分析可得：火箭豎直向上勻加速過(guò)程中的推力$F′=F+G=\frac{mv}{t}+mg$，故A錯(cuò)誤；
B、火箭豎直向上勻加速飛行的過(guò)程中位移$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}vt$，故克服重力做功$W=mgs=\frac{1}{2}mgvt$，那么，克服重力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{1}{2}mgv$，故B錯(cuò)誤；
C、物體在地球表面的重力即物體受到的萬(wàn)有引力，故有$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，所以，地球的平均密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，故C正確；
D、“墨子號(hào)”在最終軌道上繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力做向心力，故有$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$，所以，$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$，故D正確；
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力的應(yīng)用，一般根據(jù)萬(wàn)有引力做向心力求得速率、周期與半徑的關(guān)系，再根據(jù)牛頓第二定律得到衛(wèi)星變軌時(shí)的加速度方向，進(jìn)而得到推力方向及速度變化．