Question

15．內(nèi)壁光滑的圓管彎成兩個四分之一圓和一個半圓平滑連接并固定在小車上，圓管內(nèi)徑很小可忽略不計，如圖所示，圓管與小車上表面相切，左端與小車左端平齊．四分之一圓及半圓的半徑均為R=0.5m，小車與圓管的質(zhì)量為M=2kg，小車上表面離地面高度h=0.45m．比圓管內(nèi)徑略小的小球可視為質(zhì)點，質(zhì)量為m=0.5kg，以某一初速度v₀從右側(cè)進入圓管．初始時，小車被鎖定在地面上，當小球到達圓管的最高點時解除鎖定，此后，小車與地面之間可視為光滑．（重力加速度g取10m/s²） 
（1）若小球到達最高點時對圓管上下兩側(cè)剛好都沒有壓力，求小球的初速度v₀；
（2）若小球剛好能通過圓管的最高點，求小球落地瞬間與小車左端的水平距離．

Answer 1

分析 （1）小球到達最高點時對圓管上下兩側(cè)剛好都沒有壓力時，小球只受重力，由重力提供向心力，根據(jù)向心力知識求出小球到達最高點時的速度．再根據(jù)機械能守恒定律求小球的初速度v₀；
（2）小球剛好能通過圓管的最高點時在最高點的速度為零．在小球下滑的過程中，小球和小車組成的系統(tǒng)水平動量守恒，機械能也守恒，由此列式求出小球離開小車時兩者的速度，之后小球做平拋運動，由分運動的規(guī)律求小球落地瞬間與小車左端的水平距離．

解答 解：（1）小球到達最高點時對圓管上下兩側(cè)剛好都沒有壓力時，由重力提供向心力，則有 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
小球從右側(cè)到最高點的過程，由機械能守恒定律得：
  mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得 v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.5}$=5m/s
（2）小球剛好能通過圓管的最高點時在最高點的速度為零．設(shè)小球離開小車時小球和小車的速度分別為v₂和v₃．
取水平向右為正方向，由水平動量守恒和機械能守恒得：
   0=mv₂+Mv₃．
  mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$Mv₃²．
聯(lián)立解得 v₂=4m/s，v₃=-1m/s
小球離開小車后做平拋運動，平拋運動的時間為 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$=0.3s
所以小球落地瞬間與小車左端的水平距離 S=4R+v₂t+|v₃|t
解得 S=3.5m
答：
（1）小球的初速度v₀是5m/s．
（2）小球落地瞬間與小車左端的水平距離是3.5m．

點評 本題的關(guān)鍵是把握小球通過圓最高點的臨界條件，分析向心力的來源，求出最高點的速度．要知道小球從最高點下滑的過程中系統(tǒng)的水平動量守恒，但總動量并不守恒．