Question

【題目】回旋加速器是用來(lái)加速帶電粒子的裝置，圖20為回旋加速器的示意圖。D1、D2是兩個(gè)中空的鋁制半圓形金屬扁盒，在兩個(gè)D形盒正中間開(kāi)有一條狹縫，兩個(gè)D形盒接在高頻交流 電源上。在D1盒中心A處有粒子源，產(chǎn)生的帶正電粒子在兩盒之間被電場(chǎng)加速后進(jìn)入D2盒中。兩個(gè)D形盒處于與盒面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，帶電粒子在磁場(chǎng)力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周后，再次到達(dá)兩盒間的狹縫，控制交流電源電 壓的周期，保證帶電粒子經(jīng)過(guò)狹縫時(shí)再次被加速。如此，粒子在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中一次一次地經(jīng)過(guò)狹縫，一次一次地被加速，速度越來(lái)越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越來(lái)越大，最后到達(dá)D形盒的邊緣，沿切線方向以最大速度被導(dǎo)出。已知帶電粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時(shí)狹縫間電壓大小恒為U，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D形盒的半徑為R狹縫之間的距離為d。設(shè)從粒子源產(chǎn)生的帶電粒子的初速度為零，不計(jì)粒子受到的重力，求：

(1)帶電粒子能被加速的最大動(dòng)能Ek；

(2)盡管粒子在狹縫中每次加速的時(shí)間很短但也不可忽略。試計(jì)算上述正離子在某次加速過(guò)程當(dāng)中從離開(kāi)離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間；

(3)設(shè)該正離子在電場(chǎng)中的加速次數(shù)與回旋半周的次數(shù)相同，試推證當(dāng)R＞＞d時(shí)，正離子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的時(shí)間可忽略不計(jì)（正離子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮磁場(chǎng)的影響）

(4)帶電粒子在D2盒中第n個(gè)半圓的半徑；

(5)若帶電粒子束從回旋加速器輸出時(shí)形成的等效電流為I，求從回旋加速器輸出的帶電粒 子的平均功率。

(6)實(shí)際使用中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率的最大值分別為Bm、fm，試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能Ekm。

(7)a粒子在第n次由D1盒進(jìn)入D2盒與緊接著第n+1次由隊(duì)盒進(jìn)入隊(duì)盒位置之間的距離△x；

(8)試推理說(shuō)明：質(zhì)子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r是增大、減小還是不變？

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3) 當(dāng)R＞＞d時(shí)，t1可忽略不計(jì)；(4)；(5)；(6)；(7)；

(8) r△rk+1＜△rk

【解析】

(1)回旋加速器是利用電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)來(lái)加速粒子；經(jīng)回旋加速器的最大速度由洛倫茲力提供向心力可求得由D形盒的半徑?jīng)Q定.

(2)回旋加速器是利用電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)來(lái)加速粒子，根據(jù)動(dòng)能定理求出n次加速后的速度，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式求出加速的時(shí)間，再求出粒子偏轉(zhuǎn)的次數(shù)，從而得出在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的時(shí)間，兩個(gè)時(shí)間之和即為離開(kāi)離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間．

(3)在電場(chǎng)中的總的運(yùn)動(dòng)可以看做連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故根據(jù)平均速度公式可得在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間;而每加速一次，做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，則磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于圈數(shù)乘以磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期.

(4)粒子被加速一次所獲得的能量為qU，求出第n次加速后的動(dòng)能, 進(jìn)而可求出第n個(gè)半圓的半徑.

(5)根據(jù)電流的定義式和功率表示式求解.

(6)根據(jù)洛侖茲提供向心力，求出最大動(dòng)能與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系以及與加速電壓頻率的關(guān)系，然后分情況討論出最大動(dòng)能的關(guān)系.

(7)回旋加速器是利用電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)來(lái)加速粒子，根據(jù)動(dòng)能定理求出n次加速后的速度，求出軌道半徑，抓住規(guī)律，求出△x．

(8)求出rk所對(duì)應(yīng)的加速次數(shù)和rk+1所對(duì)應(yīng)的加速次數(shù)即可求出它們所對(duì)應(yīng)的軌道半徑，然后作差即可求出rk和rk+1，從而求出△rk，運(yùn)用同樣的方法求出△rk+1，比較△rk和△rk+1即可得出答案.

(1)帶電粒子在D形盒內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑達(dá)到最大時(shí)被引出，此時(shí)帶電粒子具有最大動(dòng)能Ek，設(shè)離子從D盒邊緣離開(kāi)時(shí)的速度為vm.依據(jù)牛頓第二定律：Bqvm= m

所以帶電粒子能被加速的最大動(dòng)能：Ek==

(2)設(shè)正離子經(jīng)過(guò)窄縫被第n次加速加速后的速度為vn，由動(dòng)能定理得：nqU=

粒子在狹縫中經(jīng)n次加速的總時(shí)間：

由牛頓第二定律：

由以上三式解得電場(chǎng)對(duì)粒子加速的時(shí)間：

正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律Bqv=m 又T=

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=（n-1）

由以上三式解得:t2=

所以， 離子從離開(kāi)離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間

t=t1+t2=d

(3)設(shè)粒子飛出的末速度為v，將多次電場(chǎng)加速等效為一次從0到v的勻加速直線運(yùn)動(dòng).

在電場(chǎng)中t1=， 在d形盒中回旋周期與速度v無(wú)關(guān)，在D形盒中回旋最后半周的時(shí)間為，

在D形盒中回旋的總時(shí)間為t1=n

故＜＜1

即當(dāng)R＞＞d時(shí)，t1可忽略不計(jì).

(4)帶電粒子在D2盒中第n個(gè)半圓是帶電粒子經(jīng)過(guò)窄縫被加速2n-1次后的運(yùn)動(dòng)軌道，設(shè)其被加速2n-1次后的速度為vn由動(dòng)能定理得:（2n-1）qU =

此后帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為rn,由牛頓第二定律得Bqvn=m

得：

(5)設(shè)在時(shí)間t內(nèi)離開(kāi)加速器的帶電粒子數(shù)N，則正離子束從回旋加速器輸出時(shí)形成的的等效電流I=，

解得:N=

帶電粒子從回旋加速器輸出時(shí)的平均功率=

(6)加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，即

當(dāng)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度為Bm時(shí)，加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)為

粒子的動(dòng)能

當(dāng)≤時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由Bm決定 qvmBm=m

解得Ekm=

當(dāng)≥時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由fm決定,vm=2πfmR

解得Ekm=

(7)離子經(jīng)電場(chǎng)第1次加速后，以速度v1進(jìn)入D2盒，設(shè)軌道半徑為r1，

r1=

離子經(jīng)第2次電場(chǎng)加速后，以速度v2進(jìn)入D1盒，設(shè)軌道半徑為r2,

軌道半徑：r2= ……

離子第n次由D1盒進(jìn)入D2盒，離子已經(jīng)過(guò)（2n-1）次電場(chǎng)加速，以速度v2-1進(jìn)入D2盒，由動(dòng)能定理：（2n-1）Uq=

軌道半徑：rn=

離子經(jīng)第n+1次由D1盒進(jìn)入D2盒，離子已經(jīng)過(guò)2n次電場(chǎng)加速，以速度v2n進(jìn)入D1盒，由動(dòng)能定理：2nUq=

軌道半徑：rn+1=

則:

如圖所示:

(8)設(shè)k為同一盒子中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為rk，rk+1（rk＜rk+1）， △rk= rk+1 -rk，在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對(duì)應(yīng)的速度大小分別為vk，vk+1，D1、D2之間的電壓為U，

由動(dòng)能定理知2qU= ⑦

由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，知rk=，

則2qU= ⑧

整理得:△rk ⑨

相鄰軌道半徑rk+1，rk+2之差△rk+1=rk+2- rk+2

同理△rk+1=

因U、q、m、B均為定值，且因?yàn)?/span>rk+2＞rk，比較△rk與△rk+1 得:△rk+1＜△rk