Question

17．一宇宙飛船沿半徑為2R（R為地球的半徑）的圓軌道在地球赤道的正上方運行，其運行方向與地球自轉同向，已知地球自轉角速度為ω和地球表面的重力加速度g．
（1）求出宇宙飛船的運行周期T；
（2）若某時刻，赤道上有一天文愛好者正好看到飛船在其正上方，問從此刻起天文愛好者能連續(xù)多長時間看到飛船．

Answer 1

分析 （1）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，由地球的萬有引力提供向心力，根據牛頓運動定律求解宇宙飛船的運行周期．
（2）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，人隨地球自轉做勻速圓周運動，當宇宙飛船轉過的角度與人轉過的角度之差在$\frac{π}{2}$內時，天文愛好者可以連續(xù)觀察到飛船．

解答 解：（1）宇宙飛船繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓運動定律得：
G$\frac{Mm}{（2R）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$•2R，
在地球表面的物體：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：T=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）以地面為參照物，宇宙飛船再次出現在天文愛好者上方時，當宇宙飛船轉過的角度與人轉過的角度之差在$\frac{π}{2}$內時，天文愛好者可以連續(xù)觀察到飛船，即：
ω₁△t-ω△t=$\frac{π}{2}$，
解得：△t=$\frac{π}{\sqrt{\frac{g}{2R}}-2ω}$
答：（1）出宇宙飛船的運行周期T為4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）從此刻起天文愛好者能連續(xù)看到飛船的時間是：$\frac{π}{\sqrt{\frac{g}{2R}}-2ω}$．

點評 本題考查了求飛船的周期、天文愛好者觀察到飛船的時間，考查了萬有引力定律的應用，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題，解題時注意“黃金代換”的應用．