Question

8．質譜分析技術已廣泛應用于各前沿科學領域，如圖所示是湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子的質譜裝置示意圖，M、N為兩塊水平放置的平行金屬極板，板長為L，板右端到屏的距離為D，O′O為垂直于屏的中心軸線，以屏中心O為原點建立xOy直角坐標系，其中x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．（帶電粒子重力不計）
（1）設一個質量為m₀、電荷量為q₀的正離子以速度v₀（v₀很大，D遠大于L，不計帶電粒子在板間運動時偏離O′O的距離）沿O′O的方向從O′點射入，板間不加電場和磁場時，離子打在屏上O點．
①若在兩極板間加一個沿+y 方向場強為E的勻強電場，求離子射到屏上時偏離O點的距離y₁；
②若在兩極板間加一沿+x方向磁感應強度為B′的勻強磁場，求離子射到屏上時偏離O點的距離y₂；（在板間運動時O′O方向的分速度總是遠大于x方向和y方向的分速度；當θ很小時，tanθ=sinθ，cosθ=1）
（2）在上述裝置中，保留第（1）問中的電場，再在板間加沿-y方向的勻強磁場．現(xiàn)有電荷量相同的兩種正離子組成的離子流，仍從O′點沿O′O方向射入（入射速度各有不同，但都很大，且在板間運動時O′O方向的分速度總是遠大于x方向和y方向的分速度），屏上出現(xiàn)兩條亮線．在兩線上取y坐標相同的兩個光點，對應的x坐標分別為4.32mm和4.00mm，其中x 坐標大的光點是碳12離子擊中屏產生的，另一光點是未知離子產生．試依照以上實驗結果計算未知離子的質量數(shù)（取兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 帶電離子在+y方向電場中做類平拋運動，出電場后做勻速直線運動． 由于不計離子在電場中偏離的距離，則利用離子在oo′方向做勻速直線運動，可求離子在電場中的時間，從而確定離子出電場y方向的速度．由極板右端到屏的距離D可求出離子射到屏上偏離O點的距離．離子在磁場中受到洛倫茲力本不做功，但題目條件的限制，由于洛倫茲力作用使離子在x方向做勻加速直線運動．所以利用運動的分解可將運動分解成x、y方向，再結合題中的已知量可求出結果．

解答 解：（1）離子在電場中受到的電場力   F_y=q₀E…①
離子獲得的加速度                  a_y=$\frac{{F}_{y}}{{m}_{0}}$…②
離子在板間運動的時間                 t₀=$\frac{L}{{v}_{0}}$…③
到達極板右邊緣時，離子在+y方向的分速度  v_y=a_yt₀…④
離子從板右端到達屏上所需時間  t′₀=$\frac{D}{{v}_{0}}$…⑤
離子射到屏上時偏離O點的距離 y₁=$\frac{1}{2}$a_y ${t}_{0}^{2}$+v_yt'₀
由上述各式，得   y₁=$\frac{{q}_{0}EL（L+2D）}{2m{v}_{0}^{2}}$…⑥
設離子電荷量為q，質量為m，入射時速度為v，磁場的磁感應強度為B，磁場對離子的洛倫茲力F_x=qvB…⑦
已知離子的入射速度都很大，因而粒子在磁場中運動時間甚短．
所經過的圓弧與圓周相比甚小，且在板中運動時，OO'分速度總是遠大于在x方向和y方向的分速度，洛倫茲力變化甚微，故可作恒力處理，洛倫茲力產生的加速度a_x=$\frac{qvB}{m}$…⑧
a_x是離子在x方向的加速度，離子在x方向的運動可視為初速度為零的勻加速直線運動，到達極板右端時，離子在x方向的分速度v_x=a_xt=$\frac{qvB}{m}$（$\frac{L}{v}$）=$\frac{qBL}{m}$…⑨
離子飛出極板到達屏時，在x方向上偏離O點的距離x=v_xt′=$\frac{qBL}{m}$（$\frac{D}{v}$）=$\frac{qBLD}{mv}$…⑩
當離子的初速度為任意值時，離子到達屏上時的位置在y方向上偏離O點的距離為y，
考慮到⑥式，得y₂=$\frac{qELD}{m{v}^{2}}$…（11）
（2）由⑩、（11）兩式得x₂=$\frac{k}{m}$y…（12）
其中k=$\frac{q{B}^{2}LD}{E}$上式表明，k是與離子進入板間初速度無關的定值，對兩種離子均相同．
由題設條件知，x坐標4.32mm的光點對應的是碳12離子，其質量為m₁=12u，
x坐標4.00mm的光點對應的是未知離子．
設其質量為m₂，由（12）式代入數(shù)據可得m₂≈14u…（13）
故該未知離子的質量數(shù)為14；
答：（1）①若在兩極板間加一個沿+y 方向場強為E的勻強電場，求離子射到屏上時偏離O點的距離$\frac{{q}_{0}EL（L+2D）}{2m{v}_{0}^{2}}$；
②若在兩極板間加一沿+x方向磁感應強度為B′的勻強磁場，求離子射到屏上時偏離O點的距離$\frac{qELD}{m{v}^{2}}$；
（2）未知離子的質量數(shù)14．

點評 考查帶電粒子在電場、磁場中的運動，但磁場的運動出現(xiàn)了洛倫茲力做功的情況．同時還體現(xiàn)了運動的合成與分解．