Question

18．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．在第I象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)．方向沿y軸正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)．方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)．且ab邊與y軸平行．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子．從y軸上的p（0，h）點(diǎn)，以大小為v₀的速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)，通過電場(chǎng)后從x軸上的a（2h，0）點(diǎn)進(jìn)人第Ⅳ象限，又經(jīng)過磁場(chǎng)從y軸上的某點(diǎn)進(jìn)人第Ⅲ象限，且速度與y軸負(fù)方向成45°角，不計(jì)粒子所受的重力．求．
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�
（2）粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（3）abc區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法可求出場(chǎng)強(qiáng)大小E．
（2）由速度的合成法求出粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度大小和方向，由幾何知識(shí)確定粒子經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)的方向．
（3）三角形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，當(dāng)粒子剛好與BC邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，作出軌跡，由幾何知識(shí)求出最大半徑，由牛頓第二定律即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．

解答 解：（1）粒子在第Ⅰ象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在第Ⅰ象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則
水平方向有：2h=v₀t₁ ①
豎直方向有：h=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁² ②
①②式聯(lián)立得：E=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{2qh}$    ③
（2）設(shè)粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)時(shí)豎直方向的速度v_y
則有：v_y=at₁=$\frac{qE}{m}{t}_{1}$ ④．
①③④聯(lián)立得：v_y=v₀
所以粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度大小為va=$\sqrt{{v}_{x}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀     ⑤
與x軸的夾角為θ，由幾何關(guān)系得：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{0}}$=1，
所以θ=45°；
（3）經(jīng)分析，當(dāng)粒子從b點(diǎn)出磁場(chǎng)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最��；
由幾何關(guān)系得：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L   ⑥
由洛倫茲力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$      ⑦
⑤⑥⑦聯(lián)立得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$即磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{{mv}_{0}^{2}}{2qh}$；
      （2）粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{2}$v₀ 方向斜向右下方與x軸正方向成45°角；
     （3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值為$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)和帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．畫出粒子運(yùn)動(dòng)過程圖，分過程分析．偏轉(zhuǎn)場(chǎng)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)運(yùn)用洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合求解，同學(xué)們要分析好兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程間的速度銜接關(guān)系．