Question

2．一般的曲線運(yùn)動(dòng)可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替．如圖（a）所示，曲線上的A點(diǎn)的曲率圓定義為：通過A點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一圓，在極限情況下，這個(gè)圓就叫做A點(diǎn)的曲率圓，其半徑ρ叫做A點(diǎn)的曲率半徑．
在場強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖所示．已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g．求：

（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）處的速率v．
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離y_m．
（3）當(dāng)在上述磁場中加一豎直向上場強(qiáng)為E（E＞$\frac{mg}{q}$）的勻強(qiáng)電場時(shí)，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率v_m．

Answer 1

分析 （1）首先分析，在任意時(shí)刻，小球都只受到重力和洛倫茲力．洛倫茲力始終方向與速度方向垂直，不做功，所以從原點(diǎn)到最低點(diǎn)只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得速度；
（2）設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為v，到x軸距離為h，最低點(diǎn)的曲率半徑為2h．對于小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球的向心力由洛倫茲力與重力的合力提供，列出向心力公式，再結(jié)合第一問中的速度就可以求出小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離y_m；
（3）加入電場后，結(jié)合動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)向心力的公式即可以求得小球從O靜止釋放后獲得的最大速率v_m．

解答 解：（1）洛侖茲力不做功，由動(dòng)能定理得：
mgy=$\frac{1}{2}$mv²-0  ①解得：v=$\sqrt{2gy}$  ②；
（2）設(shè)在最大距離y_m處的速率為v_m，
小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qv_mB-mg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$  ③
由②知：v_m=$\sqrt{2g{y}_{m}}$   ④
由③④及R=2y_m解得：y_m=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$  ⑤
（3）小球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由動(dòng)能定理得：（qE-mg）|y_m|=$\frac{1}{2}$mv_m²-0   ⑥
小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律的：qv_mB+mg-qE=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$  ⑦
由⑥⑦及R=2|y_m|解得：v_m=$\frac{2（qE-mg）}{qB}$；
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）處的速率v為$\sqrt{2gy}$．
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離y_m為$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．
（3）當(dāng)在上述磁場中加一豎直向上場強(qiáng)為E（E＞$\frac{mg}{q}$）的勻強(qiáng)電場時(shí)，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率v_m為$\frac{2（qE-mg）}{qB}$．

點(diǎn)評 本題涉及到的知識點(diǎn)有洛倫茲力的性質(zhì)（無論何時(shí)都不做功）、機(jī)械能守恒的條件與計(jì)算、圓周運(yùn)動(dòng)的計(jì)算，對同學(xué)們分析問題的能力要求較高，屬于中檔偏上的題目．