Question

11．如圖所示，交流發(fā)電機(jī)的矩形金屬線(xiàn)圈abcd的邊ab=cd=50cm，bc=ad=30cm．匝數(shù)n=100，線(xiàn)圈的總電阻r=10Ω，線(xiàn)圈位于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.050T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，線(xiàn)圈平面與磁場(chǎng)方向平行，線(xiàn)圈的兩個(gè)末端分別與兩個(gè)彼此絕緣的銅環(huán)E、F（集流環(huán)）焊接在一起，并通過(guò)電刷與阻值R=90Ω的定值電阻連接．現(xiàn)使線(xiàn)圈繞過(guò)bc和ad邊中點(diǎn)，且垂直于磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)軸OO′以角速度ω=400rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．電路中其他電阻及線(xiàn)圈的自感系數(shù)均可忽略不計(jì)，求：
（1）線(xiàn)圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值的計(jì)算式為E_m=nBSω，請(qǐng)你根據(jù)電磁感應(yīng)的知識(shí)推導(dǎo)該表達(dá)式；
（2）計(jì)算線(xiàn)圈中感應(yīng)電流的有效值；
（3）線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中電阻R的發(fā)熱功率；
（4）從線(xiàn)圈經(jīng)過(guò)圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)$\frac{1}{4}$周期時(shí)間通過(guò)電阻R的電荷量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)交流電的產(chǎn)生過(guò)程，代入相關(guān)的數(shù)據(jù)即可推導(dǎo)出發(fā)電機(jī)線(xiàn)圈產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值的表達(dá)式；
（2）根據(jù)公式E_m=nBSω求解電動(dòng)勢(shì)的最大值；求得電流的最大值，根據(jù)$I=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$求得有效值．
（3）通過(guò)電阻R的電流的有效值求功率；
（4）用電流的平均值求電量．

解答 解：（1）線(xiàn)圈平面與磁場(chǎng)方向平行時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，設(shè)ab邊的線(xiàn)速度為v，該邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁=BL_abv
與此同時(shí)，線(xiàn)圈的cd邊也在切割磁感線(xiàn)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₂=BL_abv
線(xiàn)圈產(chǎn)生的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E_m=n（E₁+E₂）因?yàn)長(zhǎng)_ab=L_cd，
所以，E_m=n2BL_abv
線(xiàn)速度v=ω$\frac{1}{2}$L_ad，所以 E_m=nBL_ab L_bcω，而S=L_ab L_bc（S表示線(xiàn)圈的面積）
E_m=nBSω
（2）線(xiàn)圈產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為：E_m=nBωab×bc=300V
根據(jù)閉合電路歐姆定律可知，線(xiàn)圈中感應(yīng)電流的最大值為：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}$
代入數(shù)據(jù)解得：I_m=3.0A
有效值為$I=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}A$
（3）線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中電阻R的熱功率為：P=I²R
代入數(shù)據(jù)解得：P=405W
（4）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：$\overline{E}=n\frac{△∅}{△t}$=n　$\frac{B△s}{\;}△t$
根據(jù)閉合電路歐姆定律有：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
代入數(shù)據(jù)解得：$q=\overline{I}•△t$=7.5×10³C
答：（1）推導(dǎo)如上所示
（2）線(xiàn)圈中感應(yīng)電流的最大值為3.0A；
（3）線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中電阻R的發(fā)熱功率為405W；
（4）從線(xiàn)圈經(jīng)過(guò)圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)$\frac{1}{4}$周期時(shí)間通過(guò)電阻R的電荷量為7.5×10³C．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要能夠區(qū)分交流的有效值、瞬時(shí)值、最大值和平均值，求解電表讀數(shù)用有效值，求解電量用平均值