Question

6．一勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面向里，在xOy平面上，磁場分布在以原點O為圓心的一個半圓形區(qū)域內(nèi)，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿y軸負方向，后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸正方向的夾角為60°，P到O的距離為L，如圖所示，不計重力的影響，試求：
（1）磁場區(qū)域的直線邊界與x軸的夾角θ；
（2）磁場的磁感強度B的大�。�
（3）xOy平面上磁場區(qū)域的最小半徑R．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，畫出運動軌跡，確定圓心、半徑，找出磁場邊界，即可求出磁場邊界與x軸的夾角
（2）根據(jù)運動軌跡，結(jié)合數(shù)學知識求出半徑，再由半徑公式求出B
（3）磁場必須包圍帶電粒子的軌跡，因為求最小面積，所以最小的半圓必須以軌跡圓的直徑為半徑．

解答 解：（1）帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，軌跡如圖所示
磁場區(qū)域的直線邊界OA與x軸的夾角為∠AOB，因為△POC≌△PAC，PO=PA，所以∠POA=60°，∠AOB=60°
所以磁場區(qū)域的直線邊界與x軸的夾角θ為30°
（2）OP=L，根據(jù)幾何關(guān)系，$tan30°=\frac{r}{l}$
所以$r=\frac{\sqrt{3}}{3}L$①
洛倫茲力提供向心力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得$r=\frac{mv}{qB}$②
聯(lián)立①②得$\frac{\sqrt{3}}{3}L=\frac{mv}{qB}$
解得$B=\frac{\sqrt{3}mv}{qL}$
（3）半圓形磁場區(qū)域要能包圍軌跡如圖，所以最小的磁場區(qū)域的半徑$R=2r=2×\frac{\sqrt{3}}{3}L=\frac{2\sqrt{3}}{3}L$
答：（1）磁場區(qū)域的直線邊界與x軸的夾角θ為30°；
（2）磁場的磁感強度B的大小$\frac{\sqrt{3}mv}{qL}$；
（3）xOy平面上磁場區(qū)域的最小半徑R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$．

點評 解決該題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的要求，正確畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，注意認真審題，畫草圖才能有助于對問題的分析和理解．