Question

9．一條寬度為L的河，水流速度為V_水，已知船在靜水中速度為V_船，那么：
（1）怎樣渡河時間最短，時間為多少？
（2）若V_船＞V_水，怎樣渡河位移最��？這樣渡河所需要的時間？
（3）若V_船＜V_水，怎樣渡河位移最小？這樣渡河所需要的時間？位移為多少？

Answer 1

分析 當靜水速的方向與河岸垂直時，渡河時間最短；當靜水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，當合速度的方向與靜水速的方向垂直時，渡河位移最短；而當靜水速大于水流速，合速度方向可垂直于河岸，即垂直渡河，位移最短．

解答 解：（1）如圖所示．設船頭斜向上游與河岸成任意角θ．這時船速在垂直與河岸方向的速度分量為v₂=v_船sinθ，
渡河所用時間為：t=$\frac{L}{{v}_{2}}$=$\frac{L}{{v}_{船}sinθ}$．可以看出：L、V_船一定時，t隨sinθ增大而減小；當θ=90°時，sinθ=1（最大）．所以船頭與河岸垂直時，渡河時間最小為：t_min=$\frac{L}{{v}_{船}}$．
（2）如圖所示，渡河的最小位移即河的寬度．為使船能直達對岸，船頭應指向河的上游，并與河岸成一定角度θ．根據(jù)三角函數(shù)關系有：cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}$，
因為0≤cosθ≤1，所以只有在V_船＞V_水時，船才有可能垂直河岸渡河．此時渡河的時間為：t₁=$\frac{L}{\sqrt{{v}_{船}^{2}-{v}_{水}^{2}}}$；
（3）如果V_水＞V_船，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，要使船漂下的航程最短，如圖所示，設船頭V_船與河岸成θ角，合速度v與河岸成α角．可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角越大呢？以V_水的矢尖為圓心，V_船為半徑畫圓，當v與圓相切時，α角最大．根據(jù)cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}$得渡河所需要的時間為：t₂=$\frac{L}{{v}_{船}sinθ}$．
依據(jù)三角形相似比，則此時渡河最短位移設為s，則有：$\frac{L}{s}=\frac{{v}_{船}}{{v}_{水}}$；
解得：s=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}L$
答：（1）船頭垂直河岸時，渡河時間最短；
（2）若V_船＞V_水，合速度垂直河岸時，渡河位移最小，這樣渡河所需要的時間為$\frac{L}{\sqrt{{v}_{船}^{2}-{v}_{水}^{2}}}$；
（3）若V_船＜V_水，當船的速度垂直合速度時，渡河船漂下的距離最短，這樣渡河所需要的時間$\frac{L}{{v}_{船}sinθ}$，位移為$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}L$．

點評 解決本題的關鍵知道合運動與分運動具有等時性，以及知道靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短．若靜水速大于水流速，合速度方向與河岸垂直時，渡河位移最短；若靜水速小于水流速，則合速度方向與靜水速方向垂直時，渡河位移最短．