Question

3．如圖，光滑水平面上，半徑為R（R足夠大）的圓弧曲面C質(zhì)量為2M，質(zhì)量為M的小球B置于其底端，另一個(gè)小鋼球A質(zhì)量為$\frac{M}{2}$，以V₀=6m/s的速度向B而來，并發(fā)生彈性碰撞，不計(jì)一切摩擦，球均視為質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²，則：
（1）小球B的最大速率是多少？
（2）小球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的速率？
（3）試判斷小球B能否與A再次發(fā)生碰撞？

Answer 1

分析 （1）A與B碰撞后瞬間B的速度最大．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求解B的最大速率．
（2）B沖上C的過程，系統(tǒng)水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒．小球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)B與C的速度相同，由系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒求解．
（3）對(duì)B在C上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出B離開C時(shí)的速度，再與A的速度比較，即可判斷小球B能否與A再次發(fā)生碰撞．

解答 解：（1）A與B發(fā)生彈性碰撞，取水平向左為正方向，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒有
  $\frac{M}{2}$v₀=$\frac{M}{2}$v_A+Mv_B；
由動(dòng)能守恒得：
 $\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v₀²=$\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v_A²+$\frac{1}{2}$Mv_B²；
解得 v_A=$\frac{\frac{M}{2}-M}{\frac{M}{2}+M}{v}_{0}$=-$\frac{{v}_{0}}{3}$=-2m/s
  v_B=$\frac{2•\frac{M}{2}}{\frac{M}{2}+M}{v}_{0}$=$\frac{2}{3}{v}_{0}$=4m/s
故B的最大速率為4m/s
（2）之后B沖上C并運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)二者共速設(shè)為v．則BC系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，得
  Mv_B=（M+2M）v
解得 v=$\frac{{v}_{B}}{3}$=$\frac{4}{3}$m/s
（3）從B沖上C然后又滑下的過程，類似于彈性碰撞，設(shè)BC分離時(shí)速度分別為v_B′、v_C′．
由水平動(dòng)量守恒有
   Mv_B=Mv_B′+2Mv_C′
動(dòng)能也守恒，有
  $\frac{1}{2}$Mv_B²=$\frac{1}{2}$Mv_B′²+$\frac{1}{2}$•2Mv_C′²
解得 v_B′=-$\frac{{v}_{B}}{3}$=-$\frac{4}{3}$m/s，v_C′=$\frac{2}{3}{v}_{B}$=$\frac{8}{3}$m/s
雖然A、B后來的運(yùn)動(dòng)方向相同，但因|v_B′|＜|v_A|，所以二者不會(huì)再次發(fā)生碰撞
答：
（1）小球B的最大速率是4m/s．
（2）小球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的速率是$\frac{4}{3}$m/s．
（3）小球B不能與A再次發(fā)生碰撞．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，抓住碰撞過程動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒，B在C上運(yùn)動(dòng)的過程水平動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒進(jìn)行研究．