Question

14．如圖所示，右端是四分之一圓弧的裝置P，質(zhì)量M=3.0kg，其水平段AB粗糙，圓弧段BC光滑，半徑R=0.4m．現(xiàn)將P固定在光滑的水平地面上，一質(zhì)量m=10kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以速度v₀=4m/s從A端沿水平方向滑上P，恰能運(yùn)動(dòng)到圓弧的最高點(diǎn)C，物塊與AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，求：（g取10m/s²）
（1）AB段的長(zhǎng)度L；
（2）若P不固定，物塊在圓弧面上能上升的最大高度h；
（3）在滿足（2）的條件下，通過(guò)計(jì)算判斷物塊是否會(huì)從P上掉落，若不掉落，最終物塊距A點(diǎn)多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）將P固定在光滑的水平地面上，小木塊從A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求AB段的長(zhǎng)度L．
（2）若P不固定，小木塊在滑塊上滑動(dòng)過(guò)程，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，到達(dá)圓弧面上最大高度時(shí)兩者速度相同，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求物塊在圓弧面上能上升的最大高度h．
（3）假設(shè)小木塊不會(huì)從滑塊上滑下，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求出小木塊在滑塊上相對(duì)滑動(dòng)的路程，再進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）小木塊從A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgL-mgh=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得到：L=1m
（2）小木塊在滑塊上滑動(dòng)過(guò)程，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，取水平向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：
 mv₀=（M+m）v
當(dāng)小木塊滑到最高點(diǎn)的過(guò)程中，小木塊和滑塊組成的系統(tǒng)滿足功能關(guān)系有：
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh+μmgL
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：h=0.2m
（3）假設(shè)小木塊不會(huì)從滑塊上滑下，設(shè)小木塊在滑塊上相對(duì)滑動(dòng)的路程為s，小木塊和滑塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有：
mv₀=（M+m）v′
若小木塊最終停止滑塊上，系統(tǒng)滿足功能關(guān)系：
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v^′2+μmgs
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：s=1.5m
由于s＜2L，所以小木塊不會(huì)從滑塊上滑下，最終小木塊停止在距離A點(diǎn)0.5m處．
答：（1）AB段的長(zhǎng)度L是1m；
（2）若P不固定，物塊在圓弧面上能上升的最大高度h是0.2m．
（3）小木塊不會(huì)從滑塊上滑下，最終小木塊停止在距離A點(diǎn)0.5m處．

點(diǎn)評(píng) 本題分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，明確能量的轉(zhuǎn)化情況是關(guān)鍵．要注意P不固定時(shí)，系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量是守恒的，但總動(dòng)量不守恒，整體過(guò)程中要注意能量是如何轉(zhuǎn)化的．