Question

4．圖甲為小型交流發(fā)電機(jī)的原理圖，其矩形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)方向的固定軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度ω=100πrad/s，線圈N=100匝、電阻r=10Ω，線圈的兩端經(jīng)集流環(huán)與電阻R連接，R=90Ω，與R并聯(lián)的交流電壓表為理想電表．在t=0時(shí)刻，線圈平面與磁場(chǎng)方向平行，穿過(guò)每匝線圈的磁通量Φ 隨時(shí)間t按圖乙所示正弦規(guī)律變化． 

求：
（1）交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)的最大值；
（2）寫(xiě)出感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的函數(shù)表達(dá)式；
（3）線圈從圖示位置轉(zhuǎn)動(dòng)90°過(guò)程中通過(guò)電阻R的電量．

Answer 1

分析 （1）交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的最大值E_m=nBSω，根據(jù)Φ-t圖線得出周期T以及角速度．從而求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值．
（2）圖中是以垂直于中性面開(kāi)始計(jì)時(shí)的，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式：e=E_mcos（ωt）．感應(yīng)電流的瞬時(shí)值表達(dá)式$i={I}_{m}^{\;}cosωt$
（3）通過(guò)電阻的電量為$q=N\frac{△Φ}{R+r}$

解答 解：（1）則電動(dòng)勢(shì)的最大值E_m=NBSω=Nφ_mω=100×2×10^-2×100π=200π（V）
（2）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式：e=E_mcos（ωt）=200πcos（100πt）V
感應(yīng)電流的峰值${I}_{m}^{\;}=\frac{{E}_{m}^{\;}}{R+r}=\frac{200π}{90+10}=2πA$
所以感應(yīng)電流隨時(shí)間的表達(dá)式$i={I}_{m}^{\;}cosωt=2πcos100πt$（A）
（3）平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\overline{E}=N\frac{△Φ}{△t}$
平均電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}=N\frac{△Φ}{（R+r）△t}$
通過(guò)電阻R的電量$q=\overline{I}•△t=N\frac{△Φ}{R+r}$
線圈轉(zhuǎn)90°，磁通量的變化量為△Φ=${Φ}_{m}^{\;}=2.0×1{0}_{\;}^{-2}{W}_^{\;}$
所以$q=N\frac{△Φ}{R+r}=100×\frac{2.0×1{0}_{\;}^{-2}}{90+10}=2.0×1{0}_{\;}^{-2}$C
答：（1）交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)的最大值200π（V）；
（2）寫(xiě)出感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的函數(shù)表達(dá)式i=2πcos100πt（A）；
（3）線圈從圖示位置轉(zhuǎn)動(dòng)90°過(guò)程中通過(guò)電阻R的電量$2.0×1{0}_{\;}^{-2}$C

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道正弦式交流電峰值的表達(dá)式E_m=nBSω，以及知道峰值與有效值的關(guān)系．