Question

如圖所示，質(zhì)量均為m的物體B、C分別與輕質(zhì)彈簧的兩端相栓接，將它們放在傾角為θ = 30^o 的光滑斜面上，靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀。斜面底端有固定擋板D，物體C靠在擋板D上。將質(zhì)量也為m的物體A從斜面上的某點(diǎn)由靜止釋放，A與B相碰。已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，不計(jì)空氣阻力。求：

（1）彈簧的勁度系數(shù)k；

（2）若A與B相碰后粘連在一起開(kāi)始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A與B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)， C對(duì)擋板D的壓力恰好為零，求C對(duì)擋板D壓力的最大值；

（3）若將A從另一位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對(duì)擋板D的壓力也恰好為零。已知A與B相碰后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)B的速度大小為，求相碰后A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開(kāi)始靜止釋放點(diǎn)之間的距離。

Answer 1

（1）物體B靜止時(shí)，彈簧形變量為x₀，彈簧的彈力F=kx₀

物體B受力如圖所示，根據(jù)物體平衡條件得

kx₀=mgsinθ         

解得彈簧的勁度系數(shù)k=         （6分）

（2）A與B碰后一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，物體C對(duì)擋板D的壓力最小為0

     則對(duì)C，彈簧彈力F_彈= mgsinθ，對(duì)A、B，回復(fù)力最大，F_回= 3mgsinθ   （3分）

由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，可知A與B碰后一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力也最大，即F_回=3mgsinθ，此時(shí)物體C對(duì)擋板D的壓力最大

對(duì)物體A、B有，F_彈¢-2mgsinθ=3mgsinθ

則彈簧彈力F_彈¢ =5mgsinθ

對(duì)物體C，設(shè)擋板D對(duì)物體C的彈力為N，則N=5mgsinθ+mgsinθ=3mg

依據(jù)牛頓第三定律，物體C對(duì)擋板D的壓力N¢= N=3mg

物體C對(duì)擋板D壓力的最大值為3mg                        （3分）

（3）設(shè)物體A釋放時(shí)A與B之間距離為x，A與B相碰前物體A速度的大小為v₁。

對(duì)物體A，從開(kāi)始下滑到A、B相碰前的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有            

   (解得v₁=)    ①                    （1分）

 設(shè)A與B相碰后兩物體共同速度的大小為v₂，對(duì)A與B發(fā)生碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有  mv₁=（m+m）v₂   (解得v₂=)    ②            （1分）

物體B靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀，設(shè)彈性勢(shì)能為E_P，從A、B開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

          ③         （2分）

當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A、B恰好分離，設(shè)分離后物體A還能沿斜面上升的距離為x₁。對(duì)物體A，從與B分離到最高點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒，則有

        ，解得x₁=1.5x₀                                            （1分）

對(duì)物體B、C和彈簧所組成的系統(tǒng)，物體B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為0，物體C恰好離開(kāi)擋板D，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也為x₀，彈簧的彈性勢(shì)能也為E_P。從A、B分離到B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律有

   (解得 E_P=)   ④            （1分）

①②③④式解得：x=9x₀                                     （1分）

由幾何關(guān)系可得，物體A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開(kāi)始靜止釋放點(diǎn)之間的距離d=x-x₁-x₀=6.5x₀。                                                （1分）

說(shuō)明:以上各題用其他方法解答正確均可得分。