Question

如圖所示，有一內表面光滑的金屬盒，底面長為L=1.2m，質量為m₁=1kg，放在水平面上，與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，在盒內最右端放一半徑為r=0.1m的光滑金屬球，質量為m₂=1kg，現(xiàn)在盒的左端給盒施加一個水平沖量I=3N?s，（盒壁厚度，球與盒發(fā)生碰撞的時間和能量損失均忽略不計）．g取10m/s²，求：
（1）金屬盒能在地面上運動多遠？
（2）金屬盒從開始運動到最后靜止所經歷的時間多長？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動量定理求出金屬盒獲得的速度，金屬盒所受摩擦力為F=μ（m₁+m₂）g=4N，金屬盒與金屬球之間的碰撞沒有能量損失，且金屬盒和金屬球的最終速度都為0，以金屬盒和金屬球為研究對象，運用動能定理即可求解；
（2）球與盒發(fā)生碰撞的時間和能量損失均忽略不計，即發(fā)生了彈性碰撞，根據(jù)動量守恒和機械能守恒可求出碰后兩者的速度，由于質量相等，每碰撞一次，兩者就會交換速度，逐次分析碰撞間隙盒前進的位移，分析能發(fā)生幾次碰撞，再根據(jù)動量定理求時間．

解答：解：（1）由于沖量作用，m₁獲得的速度為v=

I

m1

=3m/s，
金屬盒所受摩擦力為F=μ（m₁+m₂）g=4N，由于金屬盒與金屬球之間的碰撞沒有能量損失，且金屬盒和金屬球的最終速度都為0，以金屬盒和金屬球為研究對象，由動能定理得：-Fs=0-

1

2

m1v2
解得：s=1.125m
（2）因r=0.1m，則當盒前進s₁=1m時與球發(fā)生碰撞，設碰前盒的速度為v₁，碰后速度為v₁′，球碰后速度為v₂，則對盒，應用動能定理：
-Fs₁=

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m1v2，解得v₁=1m/s
由于碰撞中動量守恒、機械能守恒，有：
   m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂，
 

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1

v

′2 1

+

1

2

m2

v

2 2

聯(lián)立以上方程得：v₁′=0，v₂=1m/s．
當球前進1m時與盒發(fā)生第二次碰撞，碰撞前球的速度為1m/s，盒子的速度為0，碰撞后球的速度為0，盒子的速度變?yōu)関₂=1m/s，
以金屬盒為研究對象，利用動能定理得：
-Fs₂=0-

1

2

m1

v

2 2

，解得：s₂=0.125m．
所以不會再與球碰，
則盒子運動時間可由動量定理給出：設盒子前進s₁=1m所用時間為t₁，前進s₂=0.125m所用時間為t₂，則：
-Ft₁=m₁v₁-m₁v，
-Ft₂=0-m₁v₂，且v₁=v₂=1m/s
代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.5s，t₂=0.25s
在盒兩次運動之間還有一段時間t₃為小球在運動，t₃=s₁/v₂=1s
則金屬盒從開始運動到最后靜止所經歷的時間t=t₁+t₂+t₃=1.75s
答：
（1）金屬盒能在地面上運動1.125m．
（2）金屬盒從開始運動到最后靜止所經歷的時間是1.75s．

點評：解答本題要知道碰撞過程中動量、機械能守恒，且m₁=m₂，則碰撞時交換速度，且金屬盒的初動能全部轉化為內能，難度較大．