Question

9．如圖所示，寬度L=0.5m、足夠長的平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在位于豎直平面的絕緣板，導(dǎo)軌所在空間存在磁感應(yīng)強度B=0.5T的勻強磁場．磁場方向跟導(dǎo)軌所在平面垂直．兩導(dǎo)軌間所接電源的電動勢E=3．OV、內(nèi)阻r=0.5Ω；電容為C的平行板電容器通過開關(guān)跨接在導(dǎo)軌間，一根導(dǎo)體棒MN兩端套在導(dǎo)軌上與導(dǎo)軌接觸良好，且可自由滑動，導(dǎo)體棒的電阻R=1.0Ω，其他電阻均可忽略不計，重力加速度g取10m/s²．
  當S₁閉合S₂、S₃斷開時，導(dǎo)體棒恰好靜止不動．
（1）求導(dǎo)體棒MN的質(zhì)量；
（2）S₁、S₃斷開，S₂閉合，釋放導(dǎo)體棒，使之由靜止開始運動，求當導(dǎo)體棒的加速a=5.0m/s²時，求導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大��；
（3）S₁、S₃斷開，S₂閉合，釋放導(dǎo)體棒，使之由靜止開始運動，求導(dǎo)體棒運動的最大速度的大小；
 （4）S₁、S₂斷開，S₃閉合，釋放導(dǎo)體棒，使之由靜止開始運動，試回答導(dǎo)體棒此后將做何運動（電容器始終良好）．

Answer 1

分析 （1）當S₁閉合，S₂、S₃斷開時，導(dǎo)體棒靜止，由閉合電路歐姆定律求出電路中的電流I，由公式F=BIL求出安培力的大小，由平衡條件求導(dǎo)體棒MN的質(zhì)量．
（2）S₁、S₃斷開，S₂閉合，釋放導(dǎo)體棒的情況下，當導(dǎo)體棒的加速度a=5.0m/s²時，根據(jù)牛頓第二定律和安培力公式求出此時棒MN是的電流，再由歐姆定律求出導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小．
（3）將S₁、S₃斷開，S₂閉合，導(dǎo)體棒由靜止開始運動，先做加速運動，后做勻速運動，當導(dǎo)體棒所受重力與安培力平衡時，導(dǎo)體棒的速度達到最大，根據(jù)安培力與速度的關(guān)系式及平衡條件結(jié)合求解最大速度．
（4）S₁、S₂斷開，S₃閉合，釋放導(dǎo)體棒，根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，結(jié)合電流的定義式分析知道棒做勻加速直線運動．

解答 解：（1）當S₁閉合，S₂、S₃斷開時，導(dǎo)體棒靜止，通過導(dǎo)體棒的電流
  I₁=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{3}{1+0.5}$A=2.0A    
此時導(dǎo)體棒所受安培力 F₁=BI₁L=0.50×2.0×0.5N=0.5N
設(shè)MN棒的為m．由導(dǎo)體棒靜止，有 mg=F₁，
則得 m=0.05kg．
（2）S₁、S₃斷開，S₂閉合，釋放導(dǎo)體棒，當導(dǎo)體棒的加速a=5.0m/s²時，有
  mg-F₂=ma
又 F₂=BI₂L=B$\frac{{E}_{1}}{R}$L
解得導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢  E₁=1V
（3）S₁、S₃斷開，S₂閉合，釋放導(dǎo)體棒，當導(dǎo)體棒所受重力與安培力平衡時，導(dǎo)體棒的速度達到最大，設(shè)最大速度為v_m．
所以有  mg=BIL=B$\frac{BL{v}_{m}}{R}$L，
解得：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=8m/s
（4）S₁、S₂斷開，S₃閉合，釋放導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒的加速度從g逐漸減小至某一值a，最終棒的運動性質(zhì)是：勻加速直線運動．
推導(dǎo)如下：根據(jù)牛頓第二定律得 mg-BIL=ma
又 a=$\frac{△v}{△t}$
電流 I=$\frac{△Q}{△t}$=$\frac{C△U}{△t}$=$\frac{C•BL•△v}{△t}$=CBLa
則得 a=$\frac{mg}{m+C{B}^{2}{L}^{2}}$=定值．
答：
（1）導(dǎo)體棒MN的質(zhì)量是0.05kg；
（2）當導(dǎo)體棒的加速a=5.0m/s²時，導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小是1V；
（3）S₁、S₃斷開，S₂閉合，釋放導(dǎo)體棒，使之由靜止開始運動，導(dǎo)體棒運動的最大速度的大小是8m/s；
（4）S₁、S₂斷開，S₃閉合，釋放導(dǎo)體棒，使之由靜止開始運動，導(dǎo)體棒此后將做勻加速直線運動．

點評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)基本知識的綜合，其橋梁是安培力，要能熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，即可輕松求解此類問題．