Question

8．傾角θ=30^o、長L=2.7m的斜面，底端與一個(gè)光滑的四分之一圓弧平滑連接，圓弧底端切線水平，一質(zhì)量m=1kg的小滑塊從斜面最高處的A點(diǎn)由靜止沿斜面下滑，經(jīng)過斜面底端B恰好到達(dá)圓弧軌道最高點(diǎn)C；又沿圓弧折返，恰好能到達(dá)斜面上的D點(diǎn)處，再從D點(diǎn)滑下，小滑塊如此往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后停在B點(diǎn)，已知滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²，求：
（1）滑塊第一次經(jīng)過圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）滑塊從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中重力勢(shì)能的變化量．

Answer 1

分析 （1）滑塊從C到B過程只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式可以求解B點(diǎn)的速度；滑塊在B點(diǎn)時(shí)，由重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可以求解支持力，最后根據(jù)牛頓第三定律得到壓力．
（2）對(duì)A到B過程和B到D過程分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式，求出第一次返回的位移，最后得到重力勢(shì)能的改變情況．

解答 解：（1）設(shè)圓弧半徑為R，質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)的速度為v，以地面為參考平面，在質(zhì)點(diǎn)從C到B的過程中，由機(jī)械能守恒定律有：
  $mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                     
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$       
解得：F_N=3mg=30N 
由牛頓第三定律可知，滑塊第一次經(jīng)過圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為30N．
（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)第一次從B點(diǎn)沿斜面上滑的速度為v₁，B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離為L₁，由動(dòng)能定理得：
 從A到B的過程，有：mgLsin30°-μmgLcos30°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$                  
從B到D的過程，有：-mgL₁sin30°-μmgL₁cos30°=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$       
解得：L₁=0.9m
所以滑塊從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中重力勢(shì)能的變化量為：
△E_p=mg（L₁-L）sin30°=-9J
答：（1）滑塊第一次經(jīng)過圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是30N；
（2）滑塊從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中重力勢(shì)能的變化量是-9J．

點(diǎn)評(píng) 本題是單個(gè)物體多過程問題．涉及到牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用、動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，運(yùn)用動(dòng)能定理要靈活選擇研究的過程，本題也可以對(duì)A到C再到D的整個(gè)過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求解L₁．