Question

5．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，直線PQ和y軸之間存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限和第一象限的部分區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子從電場(chǎng)左邊界與x軸的交點(diǎn)A沿x軸正方向射入電場(chǎng)區(qū)域，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為x₀，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)y軸上C點(diǎn)時(shí)，速度方向與y軸負(fù)方向之間的夾角為θ=30°．質(zhì)點(diǎn)由C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，從磁場(chǎng)邊界OM上的N點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）離開(kāi)磁場(chǎng)之后，又從y軸上的D點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)，最后恰好回到A點(diǎn)．不計(jì)粒子的重力，求：
（1）C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離y₁；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，得到位移和速度公式，然后由粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向求解；
（2）根據(jù)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向得到中心角，再由圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）根據(jù)從D到A也為類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)求得OD的距離，進(jìn)而得到粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；再由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)公式聯(lián)立求解加速度，最后得到場(chǎng)強(qiáng)．

解答 解：（1）粒子從A到C過(guò)程只受電場(chǎng)力作用，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有：x₀=v₀•t₁，${y_1}=\frac{1}{2}at_1^2$，$tanθ=\frac{v_0}{v_y}=\frac{v_0}{{a{t_1}}}$；
所以，${y_1}=\frac{x_0}{2tanθ}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_0}$；
（2）從y軸上的D點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)，故粒子從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，速度方向水平向左，故在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由C到N所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為：$α=180°+60°=240°=\frac{4}{3}π$；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$；
所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_2}=\frac{α}{2π}T=\frac{4πm}{3qB}$；
（3）粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：${v_c}=\frac{v_0}{sin30°}=2{v_0}$；
粒子從D到A也做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)OD之間的距離為y₂，則：x₀=v_c•t₃=2v₀•t₃，${y_2}=\frac{1}{2}at_3^2$；
與（1）問(wèn)相比較，${t_3}=\frac{1}{2}{t_1}$，${y_2}=\frac{1}{4}{y_1}$，故OD之間的距離為：${y_2}=\frac{1}{4}{y_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{x_0}$；
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系有：OC+OD=R+Rsinθ，所以，$R=\frac{{5\sqrt{3}}}{12}{x_0}$；
由牛頓第二定律有：$q{v_c}B=m\frac{v_c^2}{R}$；所以，${v_c}=\frac{qBR}{m}=\frac{{5\sqrt{3}qB{x_0}}}{12m}$；
粒子的初速度：${v_0}=\frac{1}{2}{v_c}=\frac{{5\sqrt{3}qB{x_0}}}{24m}$；
由平拋運(yùn)動(dòng)可得：${y_1}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t_1^2=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{（\frac{x_0}{v_0}）^2}$；所以，$E=\frac{{2m{y_1}v_0^2}}{qx_0^2}=\frac{{25\sqrt{3}q{x_0}{B^2}}}{192m}$；
答：（1）C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離y₁為$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂為$\frac{4πm}{3qB}$；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為$\frac{{25\sqrt{3}q{x_0}{B^2}}}{192m}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，一般先對(duì)粒子進(jìn)行受力分析，然后由合外力做向心力求得運(yùn)動(dòng)半徑的表達(dá)式，然后由幾何關(guān)系求得半徑，再聯(lián)立求解．