Question

16．光滑水平面上固定一光滑水平軌道，水平軌道與$\frac{5}{8}$圓弧軌道平滑連接，圓弧半徑為R，P點為其連接點，如圖所示（俯視圖）．在P點靜止放有兩小球A、B，其質量分別m₁、m₂（m₁、m₂大小未知），兩小球間夾有少量炸藥，點燃炸藥后，小球A進人圓弧軌道運動，小球B在水平軌道運動，一段時間后，A、B球再次相遇．兩小球都可以看成質點，炸藥的質量忽略不計，爆炸的時間極短，爆炸后兩個小球的速度方向在同一水平直線上，（$\sqrt{2}$≈1.4，π=3.1，保留兩位有效數(shù)字）關于此過程．估算：
（1）A、B兩球相遇時運動速度大小的比值；
（2）爆炸后，A、B球獲得的機械能大小的比值：

Answer 1

分析 （1）明確二者運動的軌跡，然后由幾何關系找出軌跡的長度關系，由速度位移的關系即可求出它們速度的關系；
（2）根據(jù)動量守恒定律以及功能關系即可求出．

解答 解：（1）小球A開始時做勻速圓周運動，離開圓軌道后做勻速直線運動，其運動的軌跡如圖：

由幾何關系可知：$\overline{BP}=R•sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$≈0.7R；$\overline{PM}=R+R•cos45°=（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R≈1.7R$；$\overline{PN}=\overline{PM}=1.7R$；$\overline{MN}=\frac{\overline{PM}}{sin45°}=\frac{1.7R}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2.43R$
小球A運動的軌跡的長度：${s}_{A}=2πR×\frac{5}{8}+\overline{MN}$≈$2×3.1×R×\frac{5}{8}+2.43R≈6.3R$
小球B運動軌跡的長度：s_B=$\overline{BN}=\overline{BP}+\overline{PN}=0.7R+1.7R=2.4R$
由于二者分離后速度的大小都不變，設運動的時間為t，則：s_A=v_A•t，s_B=v_B•t
聯(lián)立可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{s}_{A}}{{s}_{B}}=\frac{63}{24}$
（2）在爆炸的過程中A與B沿水平方向的動量守恒，選取A運動的方向為正方向，則：m_Av_A-m_Bv_B=0
所以：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}=\frac{{v}_{B}}{{v}_{A}}=\frac{24}{39}$
爆炸后，A、B球獲得的機械能大小等于它們的動能的大小，所以爆炸后，A、B球獲得的機械能大小的比值：
$\frac{{E}_{A}}{{E}_{B}}=\frac{\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}}{\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}}=\frac{24}{63}×（\frac{63}{24}）^{2}=\frac{63}{24}$
答：（1）A、B兩球相遇時運動速度大小的比值是$\frac{63}{24}$；
（2）爆炸后，A、B球獲得的機械能大小的比值是$\frac{63}{24}$：

點評 該圖中小球始終在水平面內做勻速圓周運動，所以它們速度的比值就等于它們路程的比值，由此可知解答的關鍵就是能正確求出A運動的軌跡的長度．