Question

【題目】如圖所示，長(zhǎng)度為L的細(xì)繩上端固定在天花板上O點(diǎn)，下端拴著質(zhì)量為m的小球．當(dāng)把細(xì)繩拉直時(shí)，細(xì)繩與豎直線的夾角為θ=60°，此時(shí)小球靜止于光滑的水平面上．

（1）當(dāng)球以角速度ω1=做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩的張力FT為多大？水平面受到的壓力FN是多大？

（2）當(dāng)球以角速度ω2=2做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩的張力FT′及水平面受到的壓力FN′各是多大？

Answer 1

【答案】（1）繩子張力FT為mg，桌面受到壓力FN是mg．（2）繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．

【解析】試題分析：（1）當(dāng)球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．

（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解此時(shí)小球的角速度．根據(jù)角速度ω2=與臨界角速度的關(guān)系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運(yùn)動(dòng)，再由牛頓第二定律求解繩子的張力．

解：（1）對(duì)小球受力分析，作出力圖如圖1．球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，則

根據(jù)牛頓第二定律，得

水平方向有：FTsin60°=mω12Lsin60°①

豎直方向有：FN′+FTcos60°﹣mg="0" ②

又ω1=

解得 FT=mg，FN′=

根據(jù)牛頓第三定律得知水平面受到的壓力FN=FN′=．

（2）設(shè)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)角速度為ω0，即FN′=0

代入①②解得，ω0=

由于ω2=＞ω0，故小球離開桌面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)小球的受力如圖2．設(shè)繩子與豎直方向的夾角為α，則有

mgtanθ=mω22lsinα ③

mg=FT′cosα ④

聯(lián)立解得 FT′=4mg

答：

（1）當(dāng)球以ω1=做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力FT為mg，桌面受到壓力FN是．

（2）當(dāng)球以角速度ω2=做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．