Question

13．某同學(xué)通過查閱資料得知，月球半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{1}{6}$，萬有引力常量為G，則：
（1）地球和月球質(zhì)量之比
（2）在地球和月球表面發(fā)射衛(wèi)星所需最小速度之比
（3）在地球和月球表面近地圓周飛行的衛(wèi)星周期之比．

Answer 1

分析 （1）星球表面重力與萬有引力大小相等求得重力加速度與半徑和質(zhì)量的關(guān)系，從而由重力加速度和半徑關(guān)系求出中心天體質(zhì)量關(guān)系；
（2）發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度就是該星球的第一宇宙速度也是近地衛(wèi)星的運行速度，根據(jù)質(zhì)量和半徑關(guān)系求出第一宇宙速度之比；
（2）根據(jù)星球半徑和第一宇宙速度求衛(wèi)星的周期之比．

解答 解：（1）星球表面重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，
由此可得星球質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以有：$\frac{{M}_{地}}{{M}_{月}}=\frac{\frac{{g}_{地}{R}_{地}^{2}}{G}}{\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{G}}$=$\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}•（\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}）^{2}$=$\frac{1}{\frac{1}{6}}×（\frac{1}{\frac{1}{4}}）^{2}=\frac{96}{1}$
（2）衛(wèi)星的最小發(fā)射速度也就是該星球的第一宇宙速度，也就是貼近星球表面飛行的衛(wèi)星的速度，故在忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下萬有引力等于物體的重力，當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面圓周運動運動時有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
解得：$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}=\frac{\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}}{\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{6}}×\frac{1}{\frac{1}{4}}}=\frac{2\sqrt{6}}{1}$
（3）貼近星球表面飛行的衛(wèi)星周期之比：
$\frac{{T}_{地}}{{T}_{月}}=\frac{\frac{2π{R}_{地}}{{v}_{地}}}{\frac{2π{R}_{月}}{{v}_{月}}}=\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}×\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
答：（1）地球和月球質(zhì)量之比為96：1；
（2）在地球和月球表面發(fā)射衛(wèi)星所需最小速度之比2$\sqrt{6}$：1
（3）在地球和月球表面近地圓周飛行的衛(wèi)星周期之比$\sqrt{6}：3$．

點評 當(dāng)不知道中心天體的質(zhì)量和萬有引力常量G，并知道中心天體表面的重力加速度g的時候要用黃金代換公式$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$求出GM=gR²．這是我們常用的一個技巧和方法要注意掌握．