Question

13．2014年12月14日，嫦娥三號登陸月球已滿一周年，將進一步對月球進行探測活動，已知地球表面的自由落體加速度為月球表面的m倍，地球半徑為月球的n倍，不考慮地球、月球自轉(zhuǎn)影響，比較衛(wèi)星在近月圓軌道繞月球運行與在近地圓軌道繞地球運行，下列說法正確的是（　　）

• A． 月球與地球質(zhì)量之比為1：mn²
• B． 繞月與繞地飛行速度之比為$\sqrt{mn}$：1
• C． 繞月與繞地飛行向心加速度大小之比為1：n
• D． 繞月與繞地飛行周期之比為m：n

Answer 1

分析 抓住2點展開討論：1、地球表面的重力加速度等于有引力加速度即重力和萬有引力相等；2、近地繞月飛行和近月繞月飛行時重力提供圓周運動的向心力．

解答 解：A、在星球表面重力和萬有引力相等可知：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$∝gR²；
已知地球表面的自由落體加速度為月球表面的m倍，地球半徑為月球的n倍，故月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為：$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}=\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{{g}_{地}{R}_{地}^{2}}$=$\frac{1}{m{n}^{2}}$，故A正確；
B、根據(jù)重力提供向心力，有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}$，故繞月與繞地飛行速度之比為：
$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}}{{g}_{地}{R}_{地}}}$=$\sqrt{\frac{1}{m}×\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{mn}}$，故B錯誤；
C、根據(jù)重力提供向心力，有：mg=ma，故a=g，故繞月與繞地飛行向心加速度大小之比為1：m，故C錯誤；
D、根據(jù)近地（近月）飛行時，重力提供圓周運動的向心力可得：mg=mR$（\frac{2π}{T}）^{2}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
故繞月與繞地飛行周期之比為：$\frac{{T}_{月}}{{T}_{地}}=\sqrt{\frac{{R}_{月}}{{R}_{地}}×\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}}=\sqrt{\frac{n}{m}}$，故D錯誤；
故選：A．

點評 本題著重考查近地飛行的航天器由重力提供圓周運動的向心力；二是在地球表面重力和萬有引力相等，由此根據(jù)萬有引力列式進行計算即可．