Question

14．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行．設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m．
（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T．
（2）假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，試求第二種形式下星體間的距離r應(yīng)為多少？[設(shè)三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′（未知）]．

Answer 1

分析 明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象受力分析，找到做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來源．
（1）運(yùn)行的任一衛(wèi)星受到中心星體和另一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的星體的萬有引力作用，合力充當(dāng)向心力，列式求解即可；
（2）對(duì)其中一個(gè)星體受力分析，根據(jù)平行四邊形定則求出合力，有合力充當(dāng)向心力列式即可．

解答 解：（1）在第一種形式下，以某個(gè)運(yùn)動(dòng)星體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有：
${F_1}=G\frac{m^2}{R^2}$，${F_2}=G\frac{m^2}{{{{（2R）}^2}}}$${F_1}+{F_2}=m\frac{v^2}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，
周期：$T=\frac{2πR}{v}$，解得：T=4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5Gm}}$；
（2）設(shè)第二種形式下，三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：$R'=\frac{{\frac{r}{2}}}{cos30°}$，
由于星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力靠其他兩個(gè)星體的萬有引力的合力提供，由力的合成和牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
${F_合}=2G\frac{m^2}{r^2}cos30°=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R'$，
解得：r=$\root{3}{2.4}$R；
答：（1）第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度v為：$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，周期T為：4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5Gm}}$．
（2）假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體間的距離r應(yīng)為：$\root{3}{2.4}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，萬有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．