Question

12．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，第一象限有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，在第四象限中，以O(shè)為圓心，半徑分別為b與2b得兩圓弧之間區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，方向垂直xOy平面向里，第四象限還有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，一質(zhì)量為m，電荷量大小為q的微粒，從（0，b）點(diǎn)處垂直y軸射入第一象限，除b，m，q，重力加速度g已知外，其他物理量的大小未知．
（1）如果帶電微粒能垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，求E₁得最大值與最小值；
（2）如圖帶電微粒從（b，0）點(diǎn)垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，并在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后從y軸上的[-2b，-b]區(qū)間的某位置射出磁場(chǎng)，求E₂的電場(chǎng)強(qiáng)度大小及磁場(chǎng)B的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）帶電微粒在第一象限受到重力和電場(chǎng)力的作用，如果帶電微粒能垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，說明微粒帶負(fù)電，水平方向微粒做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求出E₁得最大值與最小值；
（2）微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明電場(chǎng)力與重力大小相等，方向相反，據(jù)此求出電場(chǎng)強(qiáng)度，畫出可能的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑，由半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）帶電微粒在第一象限受到重力和電場(chǎng)力的作用，如果帶電微粒能垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，說明微粒帶負(fù)電，水平方向微粒做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度越大，微粒減速的時(shí)間越短，從b點(diǎn)經(jīng)過x軸的時(shí)間最短，E₁最大；從2b點(diǎn)經(jīng)過x軸的時(shí)間最長(zhǎng)，E₁最�。�
豎直方向：$b=\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
所以：t=$\sqrt{\frac{2b}{g}}$…①
水平方向是，末速度為0的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其逆過程是初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
若到達(dá)b點(diǎn)，則：$b=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$…②
又：${a}_{1}=\frac{q•{E}_{1min}}{m}$…③
聯(lián)立①②③得：${E}_{1min}=\frac{mg}{q}$
若到達(dá)2b點(diǎn)，則：$2b=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$…④
又：${a}_{2}=\frac{q{E}_{1max}}{m}$…⑤
聯(lián)立①④⑤得：${E}_{1max}=\frac{2mg}{q}$
（2）微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明電場(chǎng)力與重力大小相等，方向相反，即：
qE₂=mg
所以：${E}_{2}=\frac{mg}{q}$
微粒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：$v=gt=g•\sqrt{\frac{2b}{g}}=\sqrt{2gb}$…⑥
微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
即：$B=\frac{mv}{qr}$…⑦
若微粒從y軸上的b點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則微粒的半徑是b，則：$B=\frac{mv}{qb}=\frac{m\sqrt{2gb}}{qb}$
若粒子處從y軸上的2b點(diǎn)射出磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，得：

由圖中幾何關(guān)系得：R²=（2b）²+（R-b）²
整理得：R=2.5b
此時(shí)：$B′=\frac{mv}{2.5qb}=\frac{m•\sqrt{2gb}}{2.5qb}$
磁場(chǎng)B的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍：$\frac{m•\sqrt{2gb}}{2.5qb}≤B≤\frac{m•\sqrt{2gb}}{qb}$．
答：（1）如果帶電微粒能垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，E₁得最大值與最小值分別為：$\frac{mg}{q}$和$\frac{2mg}{q}$；
（2）E₂的電場(chǎng)強(qiáng)度大小是$\frac{mg}{q}$，磁場(chǎng)B的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍是$\frac{m•\sqrt{2gb}}{2.5qb}≤B≤\frac{m•\sqrt{2gb}}{qb}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電微粒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，以及帶電微粒在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出微粒的運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后根據(jù)軌跡中的幾何關(guān)系求出半徑是常規(guī)的解題思路．